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X?t??AS?t??N??t, (2.4) M? N则由已知的X?t?在A未知时求S(t)的问题是一个有噪声盲分离问题。 2.6 信号盲分离的不确定性
需要指出的是对瞬时混合信号盲分离，当源信号可以精确恢复的情况下应有
W=A-1，在假设条件的约束下，盲源分离问题是有解的，只不过存在两个不确定性，
即恢复的源信号的幅度不确定和源信号各分量次序的不确定性。
1．分离结果的幅度存在不确定性
由于在X?AS中，A和S均未知，如果将S中任一分量Si扩大a倍，只需将A中相应的混合系数乘以1/a，上式仍成立。在观测信号幅度不变的前提下，源信号的幅度存在不确定性。因此，在求解独立分量时，往往事先假设S具有单位方差E?Si2??1，且各分量均值为零。
2．分离结果的排序存在不确定性
由于A和S的未知，公式X?AS中独立分量的顺序可能会被调换，在X?AS中插入一个置换矩阵P和它的逆矩阵P-1，得到X?APP-1S，将AP-1看成新的混合矩阵，则PS中的各分量便成为新的已调换顺序的独立源Si。这表明ICA分离结果存在排序上的不确定。
由于在许多应用背景下，绝大多数信息是包含在信号的波形而不是幅度和次序中的，因此这两种不确定性事可以接受的。所以在信号盲分离问题中，如果得到一个源信号的拷贝，则可以说完成了信号盲分离的工作，因为在没有先验知识的情况下，我们不可能获得比“源信号的拷贝”更好的结果。但在有些应用中，需要对不同观测信号的独立分量进行比较，ICA的不确定性会给后续工作带来麻烦。
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第三章 独立分量分析
3.1 引言
目前的盲信源分离方法主要都是基于神经网络的ICA独立分量分析方法，ICA 是20世纪90年代发展起来的一种新的信号处理技术，最早是由Comon提出的，它是从多维统计数据中找出隐含因子或分量的方法。从线性变换和线性空间角度，源信号为相互独立的非高斯信号，可以看作线性空间的基信号，而观测信号则为源信号的线性组合，ICA就是在源信号和线性变换均不可知的情况下，从观测的混合信号中估计出数据空间的基本结构或者说源信号。所以说ICA的任务和目的就是在只有传感器观测数据的条件下恢复独立的源信号，而这些传感器观测数据是那些不可测量的独立源信号经过未知线性混合后的输出。
目前ICA的研究工作大致可分为两大类，一是ICA的基本理论和算法的研究，基本理论的研究有基本线性ICA模型的研究以及非线性ICA、信号有时间延时的混合、卷积和的情况、带噪声的ICA、源的不稳定问题等的研究。算法的研究可分为基于信息论准则的迭代估计方法和基于统计学的代数方法两大类，从原理上来说，它们都是利用了源信号的独立性和非高斯性。各国学者提出了一系列估计算法。如FastICA算法、 Infomax算法、最大似然估计算法、二阶累积量、四阶累积量等高阶累积量方法。另一类工作则集中在ICA的实际应用方面，已经广泛应用在特征提取、生物医学信号处理、通信系统、金融领域、图像处理、语音信号处理等领域，并取得了一些成绩。这些应用充分展示了ICA的特点和价值。
本章首先了介绍了ICA原理和数学模型；接着简单阐述了ICA在信号盲源分离中的基本假设条件；并讨论了信号盲源分离算法中两个常用的数据预处理方法；最后介绍了ICA中独立性度量的几种方法。 3.2 独立分量分析的线性模型
ICA是伴随着BSS问题发展起来的，根据上一章节给出的BSS数学模型，式（2.4）是由已知的X?t?在A未知时求S(t)的问题是一个有噪声盲分离问题。ICA的目的是对任何t，根据已知的X?t?在A未知的情况下求未知的S(t)，ICA的思路是设置一个N?N
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维反混合阵W??wij?,X?t?经过W变换后得到N维输出列向量Y?t?，
Y?t????Y1?t?,...,YN?t???，考虑如下线性瞬时混合信号系统模型，即假设传输是瞬时的，
T也就是不同信号到达各个传感器的时间差别可以忽略不计，并且传感器接收到的是各个源信号的线性组合，即有
Y?t??WX?t??WAS?t? (3.1)
整个过程可以表示成如图3.1：
图3.1 ICA的线性模型
如果通过学习得以实现WA?I(I是N?N维单位阵) ，则Y?t??S?t?，从而达到了源信号分离目标。
3.3 ICA问题中的基本假设
在以上盲源分离问题中，由于源信号和混合系统均是未知的，如果没有任何其他先验知识，要想仅从观测信号中恢复出源信号是不可能的。所以，为使问题可解，根据实际存在的情况，需要对盲分离问题作一些基本的假设。
由于源信号来自不同的信号源，所以一个合理的假设是认为各个源信号Si?t?之间是统计独立的。用f?s?表示源信号矢量s?t?的联合概率密度函数，而用f1?s1?,f2?s2?, 则源信号矢量各个分量之间的统f3?s3?…fN?sN?分别表示源信号的边际概率密度函数，计独立性假设可以用下式描述：
f?s??f1?s1??f2?s2??????fn?sn???fi?si? （3.2）
i?1N即源信号矢量s?t?的联合概率密度函数为其各分量的边际概率密度函数的乘积。这
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一源信号的统计独立性假设，是已有的绝大多数信号源盲分离算法的基本出发点。
除了对源信号矢量s?t?各个分量之间的统计独立性假设之外，还需要对混合矩阵A做出合理的假设。显然，如果能求出矩阵A的广义逆矩阵A-1，则由式(2.3)有：
S?t??A?1X?t? (3.3)
为使盲分离问题可解，必须保证混合矩阵A的左逆存在，因此盲分离问题总假设混合矩阵A是列满秩的。
综上所述，ICA一般根据表3.1中的几个基本假设条件来解决BSS问题：
表3.1 ICA问题中的基本假设
ICA问题中的基本假设
(1)各信号源Si?t?均为0均值、实随机变量，各源信号之间统计独立。
(2)源信号数M与观察信号数N相同，即N?M，这时混合阵A是一个确定且未知的
N?N维方阵。假设A是满秩的，逆矩阵A-1存在。
(3)各个Si?t?的pdf（概率分布函数）中最多只允许有一个具有高斯分布。
(4)各观察器引入的噪声很小，可以忽略不计。这时可以用式（2.3）描述源信号与观察信号之间的关系且N?M。
(5)关于各源信号的pdf-pi?Si?，要略有一些先验知识。
应当说明，这是较理想的情况，实际中往往不能同时满足上述这些假设条件。因此，最近几年，许多学者都涉及了减弱这几个假设条件的ICA研究，提出了一些新的理论，如：非线性ICA；带噪声的ICA；信号有时间延时的混合；卷积和的情况；源的不稳定问题等, 但这些理论还不够完善，许多问题还有待进一步研究解决。 3.4 对信号的预处理
在使用ICA算法之前进行一些预处理通常是十分有利的。它们常使 ICA 估计问题变得更加简单。最常见的预处理过程有两个，一是去除信号的均值，另一个重要的预处理是白化。
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1．信号的零均值化
对观测信号去均值是ICA算法最基本和最必须的预处理步骤，其处理过程是从观测信号中减去信号的均值向量m?E(x)，使得观测信号成为零均值变量。这意味着ICA得到的源信号的S?t?估计y?t?也是零均值的，该预处理只是为了简化ICA算法，并不意味着均值不能估计出来。用去均值数据估计分离矩阵W后，可以在源信号的估计Y上加上均值，此时所加的均值矢量为A-1m，m为在预处理过程中所减去的均值。
2．白化
一般情况下，所获得的数据都具有相关性，所以通常都要求对数据进行初步的白化或球化处理，因为白化处理可去除各观测信号之间的相关性，从而简化了后续独立分量的提取过程，而且通常情况下，数据进行白化处理与不对数据进行白化处理相比，算法的收敛性较好，有更好的稳定性．但是当混合矩阵A为病态矩阵或者某些源信号较其他源信号强度弱很多时，白化可能使ICA很难甚至不可能实现分离。
下面对数据的白化算法进行了简单介绍：若一零均值的随机向量Z??Z1,?,ZM?T满足E?ZZT??I，其中：I为单位矩阵，我们称这个向量为白化向量。白化的本质在于去相关，这同主分量分析（PCA：Principal Component Analysis）的目标是一样的。对观测信号X(t)，我们应该寻找一个线性变换，使X(t)投影到新的子空间后变成白化向量，即：
Z?t??W0X?t? (3.4)
其中，W0为白化矩阵，Z为白化向量。
下式给出了PCA的白化算法
??VD?12VTx (3.5) x?12其中，D?12?diag[d1?12,?,dn]是n?n的对角矩阵，V?[c1,?,cn]是m?n的矩阵，
di为观测信号的协方差矩阵E{XXT}的第i个特征值，ci为对应的特征向量．使得白化
?为非相关的，且为单位方差，即满足 后的分量x