教师住房分配问题
摘要
本题住房问题是涉及到多因素的问题，这些因素这些因素的重要性、影响力或者是优先程度通常不易定量地量测。所以我们采用“层次分析法”。
首先，建立层次结构模型。根据题意，将决策问题分解为三个层次，最上层为目标层，即住房问题，最下层为方案层，有50名老师，中间层为准则层，有职称、工龄、学历、教学情况4个准则。
其次，构造成对比较阵。从准则鞥开始，对于从属于（或影响及）上一层每个元素的同一层诸元素，用成对比较法和1—9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。
然后，计算权向量并作一致性检验。对于每一个成对比较阵计算最大最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。检验通过后，特征向量进行归一化后，正是权向量?=(0.5583, 0.1861, 0.1160, 0.1396)。运用MATLAB运算，得出矩阵C的最大特征向量，且CI??max?nn?1。又CR?0.10时，认为判断矩阵的
一致性是可以接受的，所以，构造的矩阵C通过一致性检验。
最后，计算组合权向量并做组合一致性检验。
关键词：层次分析法 MATLAB
一、问题重述
某中学现有30套福利房欲分配给该校老师，而该校有50位教师。学校经过全体老
师讨论决定，分房时只考虑职称、工龄、学历、教学情况4种因素。
了解了每位老师的情况后，需要给出合理的方案，使得福利房的落实能够切实出于对这4种因素的量化，从50位教师中筛选出30位教师。
该方案必须既能体现教师对学校贡献的大小，又能体现学校对优秀教师的认可鼓励和政策导向。
二、背景分析
人们在处理一些决策问题时要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同点是涉及到社会、经济、人文等因素。解决这些问题的主要困难在于，在作比较、判断、评价、决策的时候，这些因素这些因素的重要性、影响力或者是优先程度通常不易定量地量测。人们凭自己的经验和知识进行判断，当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果只是定性的结果，则常常不易被别人接受。
T．L.Saaty等人在20世纪70年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP），这是一种定性和定量相
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结合的、系统化、层次化的分析方法。
层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。
层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最优者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。
三、问题分析?
本题中的住房分配问题，考虑到要科学确立职称，工龄，学历，教学情况4个因素的权重问题。因此，我们采用层次分析法，通过比较尺度衡量4个因素的权重大小，构造非一致性矩阵，求其权向量，把模糊的强弱关系量化。
将决策问题分解为三个层次，最上层为目标层，即住房问题，最下层为方案层，有50名老师，中间层为准则层，有职称、工龄、学历、教学情况4个准则。
通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重，这些准则在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法.
将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重，在层次分析法中要给出进行综合的计算方法。
参考数据，把不同教师各项因素的不同情况直接量化，分别构造一致阵，求出权向量。最后措施层组合向量和准则层权向量相乘得到总权值，依此排序筛选。
四、符号说明
aij：表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果；
?： 矩阵的最大特征值；
?：表示准则层权向量；
?i：表示权影响因素权向量（i=1,2,3,4分别对应职称、工龄、学历、教学）；
（n=1，2，?，50，j=1，2，??5）； bnj： 第n个人对第j个因素的影响程度的权重，
A：表示成对矩阵；
Bi： 表示第i个方案层对准则层的优越性比较成对矩阵（i=1,2,3,4分别对应职称、工
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龄、学历、教学）；
Pi： 表示编号为i的教师；
Ci： 影响因素（i=1,2,3,4分别对应职称、工龄、学历、教学）。
五、模型假设
1. 假设分配住房只考虑下列4个因素：职称、工龄、学历、教学情况，而不考虑是否
已有住房或住房的挑选等问题。 2. 假设每位教师至多分得1套住房。
3. 假设最终所得分值相同时，按照教学、科研、学历、工龄、职称的顺序依次优先；
所有条件相同则抽签决定排序。
六、模型的建立与数据处理
1. 构造层次结构模型
据题意，住房分配问题的考虑因素有职称、学历、工龄、教学4项，以这4项为准则层，构造了如图1：
图1.层次结构模型
2. 准则层
1) 构造判断矩阵
Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。
准则层有5个影响综合排名的因素，要比较它们对上一层目标的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把n个因素对上层某一目标的影响程度排序）.这里的比较是两两因素之间进行比较，比较时取1—9的尺度，
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尺度 1 3 5 7 9 含义 第i 个因素与j 个因素的影响相同 第i 个因素比j 个因素的影响稍强 第i个因素比j个因素的影响强 第i个因素比j个因素的影响明显强 第i个因素比j个因素的影响绝对的强 2,4,6,8表示第i个因素相对于第j个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。 构造成对比较矩阵A,其中aij表示第i 个因素相对于第j 个因素的比较结果，所以
aij?1，则 aji?1?1??3A??1??5?1??43112154??21??? 11???11??2) 计算准则层权向量
对于矩阵A根据matlab可求得其最大特征值为4.0407, 并对其对应的特征向量进行归一化后所得的权向量为：
?=(0.5583, 0.1861, 0.1160, 0.1396) 对应的各因素的权重表如下：（表一）
准则层 职称 工龄 权重?
3) 对准则层判断矩阵进行一致性检验
对判断矩阵的一致性检验的步骤如下： （i）计算一致性指标CI
??n CI?max （?max为矩阵对应的最大特征根，n为矩阵维数）
n?1- 4 -
学历 0.1160 教学 0.1396 0.5583 0.1861 （ii）查找相应的平均随机一致性指标RI。对n?1,?,9，Saaty给出了RI的值，如下表3所示：
表3.随机一致性指标RI的数值（表二） n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
RI值是用随机方法构造500个样本矩阵，随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值?'max，并用如下定义得到的：
RI??'max?nn?1CIRI
（ⅲ）计算一致性比例CR：
CR?
当CR?0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。
本实例中，运用MATLAB运算（程序见附录）得出矩阵C的最大特征向量为
??n4.0407?4==0.0136。又据表3可知当n=4时，?max=4.0407，此时CI?max4?1n?1RI=0.90，所以，构C通过一致性检验。
3. 决策层：量化所有教师在4项因素中的程度并求各项权向量
1) 对数据进行量化处理表：（表三） 职称 高级 ——8 中级——5 初级——3 工龄 INT(工龄/4)+1 学历 研究生——7 本科生——5 专科——3 教学 好——7 一般——5 差——2
将原数据表格按照上述标准进行量化处理，处理后的表格五
量化处理后的表格
人员 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 职称 8 8 8 8 8 8 5 工龄 8 7 6 6 5 4 4 学历 3 5 5 3 5 7 7 教学 7 5 5 7 5 2 5 人员 P26 P27 P28 P29 P30 P31 P32 - 5 -
职称 3 3 3 3 3 3 3 工龄 3 2 3 2 2 2 1 学历 5 5 5 5 7 5 5 教学 7 5 5 2 5 7 5