专题突破四 数列求和
学习目标 1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法．
知识点一 分组分解求和法
1111
n＋n?. 思考 求和：1＋22＋33＋…＋??2?222
11111111
n＋n?＝(1＋2＋3＋…＋n)＋?＋2＋3＋…＋n? 答案 1＋22＋33＋…＋?2??2??22222211?1－n?
n?n＋1?2?2?＝＋
21
1－2＝
n?n＋1?1
＋1－n. 22
总结 分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和．
知识点二 奇偶并项求和法
思考 求和12－22＋32－42＋…＋992－1002. 答案 12－22＋32－42＋…＋992－1002 ＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)
＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100) ＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100) ＝－5 050.
总结 奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论． 知识点三 裂项相消求和法 思考 我们知道
111111
＝－，试用此公式求和：＋＋…＋.
n?n＋1?nn＋11×22×3n?n＋1?
111
答案 由＝－得
nn?n＋1?n＋1
111＋＋…＋ 1×22×3n?n＋1?11111＝1－＋－＋…＋－ 223nn＋11＝1－.
n＋1
总结 如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项．裂项相消求和常用公式： 1111(1)＝(－)； n?n＋k?knn＋k(2)
1＝(k
n＋k＋n1
n＋k－n)；
1111
(3)＝(－)； ?2n－1??2n＋1?22n－12n＋11111
(4)＝[－]．
2n?n＋1??n＋2?n?n＋1??n＋1??n＋2?知识点四 错位相减求和法
思考 记bn＝n·2n，求数列{bn}的前n项和Sn. 答案 ∵Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，① 2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n1，②
＋
①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n1
＋
＝－2－(n－1)·2n1.
＋
∴Sn＝2＋(n－1)·2n1，n∈N*.
＋
总结 错位相减法主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和． 利用“错位相减法”时，先写出Sn与qSn的表达式，再将两式对齐作差，正确写出(1－q)Sn的表达式；(利用此法时要注意讨论公比q是否等于1)．
1．并项求和一定是相邻两项结合．( × )
2．裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消．( × )
题型一 分组分解求和
111
x＋?2＋?x2＋2?2＋…＋?xn＋n?2(x≠0)． 例1 求和：Sn＝?x?x??x???解 当x≠±1时，
111
x＋?2＋?x2＋2?2＋…＋?xn＋n?2 Sn＝?x?x??x???111x2＋2＋2?＋?x4＋2＋4?＋…＋?x2n＋2＋2n? ＝?x??x?x???111?2＋4＋…＋2n ＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋?x??xxx2?x2n－1?x－2?1－x－2n?
＝2＋＋2n
x－11－x－2?x2n－1??x2n＋2＋1?＝＋2n；
x2n?x2－1?当x＝±1时，Sn＝4n. 综上知，
4n， x＝±1，
??
S＝??x－1??x＋1?
＋2n， x≠±1且x≠0.
?x?x－1??
n
2n
2n＋22n
2
反思感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和． 跟踪训练1 已知正项等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝24. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足bn＝log2an，求数列{an＋bn}的前n项和． 解 (1)设数列{an}的公比为q(q>0)，
?q＝6，?a1＋a1·则?
23q＋a1·q＝24，??a1·??a1＝2，解得?
??q＝2，
∴an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n.
(2)bn＝log22n＝n，设{an＋bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn) ＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn) ＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n) 2×?2n－1?n?1＋n?＝＋ 22－111
＝2n＋1－2＋n2＋n.
22题型二 裂项相消求和
1111
例2 求和：2＋2＋2＋…＋2，n≥2，n∈N*.
2－13－14－1n－11?1－1?解 ∵2＝＝??，
n－1?n－1??n＋1?2?n－1n＋1?
1
1
1?1??11??11?1－＋－＋－∴原式＝? 2??3??24??35?
?1－1??1?1＋1－1－1?＋…＋???＝?2nn＋1?
?n－1n＋1??2??
2n＋13
＝－(n≥2，n∈N*)． 42n?n＋1?引申探究
求和：2＋2＋2＋…＋2，n≥2，n∈N*.
2－13－14－1n－1n2－1＋11解 ∵2＝2＝1＋2，
n－1n－1n－1
n222
32
42
n2
?1＋1??1＋1??1＋1??1＋1?∴原式＝?2?＋?2?＋?2?＋…＋?n2－1?
?2－1??3－1??4－1????1＋1＋1＋…＋1?＝(n－1)＋?2 22
n2－1??2－13－14－1?
以下同例2解法．
反思与感悟 求和前一般先对数列的通项公式变形，如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项求和法．
跟踪训练2 求和：
1111＋＋＋…＋，n∈N*. 1＋21＋2＋31＋2＋3＋…＋n
?1－1?解 ∵an＝＝＝2?n?， n＋1??1＋2＋…＋nn?n＋1?
1
2
?1－1＋1－1＋…＋1－1?2n∴Sn＝2?223. nn＋1?＝
??n＋1
题型三 奇偶并项求和
例3 求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)． 解 当n为奇数时，
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1) n－1
＝2·＋(－2n＋1)＝－n.
2当n为偶数时，
n
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.
2∴Sn＝(－1)nn (n∈N*)．
反思与感悟 通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．
跟踪训练3 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn. 解 当n为偶数时，令n＝2k(k∈N*)， Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n·(3n－2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)] 3＝3k＝n；
2当n为奇数时， 令n＝2k＋1(k∈N*)．
－3n＋1
Sn＝S2k＋1＝S2k＋a2k＋1＝3k－(6k＋1)＝. 2