圆的证明与计算
《圆的证明与计算》专题讲解
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
圆的有关证明
一、圆中的重要定理:
(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.
(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.
2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
二、考题形式分析：
主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。
知识点一：判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：
方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：EF与⊙O相切.
圆的证明与计算
例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒， ⌒ ∴BE=CE
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用
.
圆的证明与计算
例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.
求证：DC是⊙O的切线
例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线.
圆的证明与计算
例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.
证明：取FG中点O，连结OC.
∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，△CFG是Rt△ ∵O是FG的中点， ∴O是Rt△CFG的外心. ∵OC=OG， ∴∠3=∠G， ∵AD∥BC， ∴∠G=∠4.
∵AD=CD，DE=DE，
∠ADE=∠CDE=450， ∴△ADE≌△CDE（SAS）
∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900.
即CE⊥OC.
∴∠4=∠1，∠1=∠3.
∴CE与△CFG的外接圆相切
方法二：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）
例1：如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切.
分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.
圆的证明与计算
例2： 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线.
证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.
∵AC，BD与⊙O相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900，
∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.
∴Rt△AOC∽Rt△BDO. ∴
ACOC
. OBODACOC
. OAOD
∵OA=OB， ∴
又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC∽△ODC，
∴∠1=∠2.
又∵OA⊥AC，OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.
证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.
∵AC，BD与⊙O相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD， ∴∠F=∠BDO. 又∵OA=OB，
∴△AOF≌△BOD（AAS）
圆的证明与计算
∴OF=OD. ∵∠COD=900， ∴CF=CD，∠1=∠2. 又∵OA⊥AC，OE⊥CD， ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.
证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.
∵AC与⊙O相切， ∴AC⊥AO. ∵AC∥BD， ∴AO⊥BD.
∵BD与⊙O相切于B， ∴AO的延长线必经过点B. ∴AB是⊙O的直径.
∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF， ∴OF∥AC， ∴∠1=∠COF.
∵∠COD=900，CF=DF， ∴OF