1
CD CF. 2
∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.
∵OA⊥AC，OE⊥CD， ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线
说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.
圆的证明与计算
课后练习：
（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O
的切线；
A
（2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线.
（3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线.
（4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线.
圆的证明与计算
知识点二：与圆有关的计算
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有： （1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；
射影定理： 所谓射影，就是正投影。 其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。
由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BD·DC, (2)(AB)2;=BD·BC , (3)(AC)2;=CD·BC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明
)
③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径； ④构造勾股定理模型（已知线段长度）； ⑤构造三角函数(已知有角度的情况）; 6找不到，找相似 ○
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
典型基本图型：
图形1：如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：
（1）在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。 （2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。
A
AAA
图1
图2图3图4
圆的证明与计算
（3）如图（4）：若CK⊥AB于K，则：
①CK=CD；BK=DE；CK=
A
1
BE=DC；AE+AB=2BK=2AD; 2
②⊿ADC∽⊿ACB AC2=AD AB
（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD
于E时（如图5），则：
①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD BG=
1
DG2=DC2 4
图5
图形2：如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC
于点E，基本结论有：
C
图2图1
（1）在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，
知一推三。
（2）①G是⊿BCD的内心；②
CG=GD ；③⊿BCO∽⊿CDE BO DE=CO CE=（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。 （4）如图（3），若①BC=CE，则：②
1
CE2； 2
AE1
==tan∠ADE；③BC：AC：AB=3：4：5 ；（在AD2
①、②、③中知一推二）④设BE、CD交于点H，,则BH=2EH
图形3：如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：
如右图：（1）DE切⊙O E是BC的中点； （2）若DE切⊙O，则：①DE=BE=CE；
②D、O、B、E四点共圆 ∠CED=2∠A
③CD·CA=4BE2, DE CD BC
R
BD
BA
图形特殊化：在（1）的条件下
如图1：DE∥AB ⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；
如图2：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：
BE1DE1
;② ① EF3R2
图2
圆的证明与计算
图形4：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，
基本结论有：
（1）DE⊥AC DE切⊙O；
（2）在DE⊥AC或DE
切⊙O下，有：①⊿DFC是等腰三角形；
②EF=EC；③D是 BF
的中点。④与基本图形1的结论重合。 ⑤连AD，产生母子三角形。
图形5：：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ，
基本结论有：
图3图2图1
（1）如图1：①AD+BC＝CD； ②∠COD
=∠AEB=90°； ③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；（注：在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）
1
AB2=R2； 4
（2）如图2，连AE、CO，则有：CO∥AE，CO AE=2R2(与基本图形2重合)
④AD·BC＝
（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：EG=FG.
图形6：如图：直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PQ于R。 基本结论有：
（1）PQ=PR (⊿PQR是等腰三角形)； （2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一 （3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2
图形7：如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心。基本结论有：
（1）如图1，①BD=CD=ID；②DI2＝DE·DA；
1
③∠AIB=90°+∠ACB;
2
（2）如图2，若∠BAC=60°，则：BD+CE=BC.