图1
图2
圆的证明与计算
图形8：已知，AB是⊙O的直径，C是 中点，CD⊥AB于D。BG交CD、AC
于E、F。基本结论有：
1
（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE
2
1
(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C
是
BG
中点)
21
（2）OE=AF，OE∥AC；⊿ODE
∽⊿AGF
2
A
（3）BE·BG=BD·BA
（4）若D是OB的中点，则：①⊿CEF是等边三角形；② BC=CG=AG
范例讲解：
例题1：△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于C点，弧CF=CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D. （1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求
EF
的值。 AF
例题2：直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.
⑴求证：CD为⊙O的切线 ⑵若
BFBE3
，求的值
DFAB5
D
例题3：如图，AB为直径，PB为切线，点C在⊙O上，AC∥OP。 （1）求证：PC为⊙O的切线。
（2）过D点作DE⊥AB，E为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，求
DG
的值。 DB
圆的证明与计算
例题4（2009调考）：如图，已知△ABC中，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为
的中点，AF为△ABC的角平分线，且AF⊥EC。
（1）求证：AC与⊙O相切； （2）若AC＝6，BC＝8，求EC的长
家庭练习：
1．如图，Rt△ABC，以AB为直径作⊙O交AC于点D
，过D作AE的垂线，F为垂足.
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若DF=3，⊙O的半径为5，求tan BAC的值.
A
2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙OAD=DC ，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若AC=6，BD=5，求sinE的值.
B
圆的证明与计算
3．如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.
（1）求证：DE=DF；
（2）连结AE，若OF=1，BF=3，求tan A的值.
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点一点E，EF⊥AC于点F.
（1）求证：⊙O与AC相切； （2）若EF=3，BC=4，求tan A的值.
5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，DE⊥AC于E. （1）求证：DE为⊙O的切线；
（
2）若BC=，AE=1，求cos AEO的值.
A
C
圆的证明与计算
6．如图，BD为⊙O的直径，A为
BC 的中点，AD交BC于点E，F为BC
延长线上一点，且FD=FE.
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AE=2，DE=4，△
BDF的面积为tan EDF的值.
7、如图，AB是⊙O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE AM的长．
8、如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，过点C作⊙O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.
圆的证明与计算
9、如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且CD=BD. （1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交⊙O于E，EF∥AC，分别交BD、BN的延长线于H、F，若DH=2，求EF的长.
⌒的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交10、如图，AB是半⊙O上的直径，E是 BC（1）求证：CF为⊙O的⊙O切线；
（2）求sin∠BAD 的值.
F
B A
11、如图，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长
B
AD的平行线交OE的延长线于点F. ∠ADO=∠B.