1.2 一阶线性常系数差分方程
一阶线性常系数差分方程的一般形式
差分方程的平衡点
差分方程的解
平衡点稳定的条件
1.3高阶线性常系数差分方程
高阶线性常系数差分方程的一般形式
特征方程
特征根
平衡点
差分方程的解
平衡点稳定的条件 所有特征值的模均小于1 (用roots(c)---c:多项式的系数（降幂）P125)
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1.4 线性常系数差分方程组
当我们研究的对象是若干变量构成的一个向量的离散动态过程时，就需要引入差分方程组来描述，详见前面对一阶或高阶线性常系数差分方程的描述。
平衡点——X=Ax+b
稳定条件：A的所有特征根小于1（eig）
1.5 非线性差分方程
2 数值微分
数值微分是用离散方法近似地计算函数y=f(x)在某点x=a的导数值。常用公式有： 前差公式
后差公式
中点公式
三点公式
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1 插值与拟合
1.1 插值与拟合的基本概念
插值与插值函数：已知由
互异插值节点
值条件：
(可能未知或非常复杂
)产生的一批离散数据
，在插值区间内寻找一个相对简单的函数
，且 个
，使其满足下列插
再利用已求得的
数，
计算任一非插值节点
的近似值
，这就是插值。其中
称为插值函
称为被插函数。
，
互不相同，寻求一个拟合函数
，
最小二乘拟合：
已知一批离散的数据
使
1.2
三种插值方法
与
的误差平方和在最小二乘意义下最小。在最小二乘意义下确定的 称为最小二乘拟合函数。
1）
Lagrange插值法
a．待定系数法： 假设插值多项式 插值条件
的插值函数。关键在于确定待定系数
个满足条件：
的
，利用待定系数法即可求得满足
。 次插值基函数
，再将其
b
．利用基函数的构造方法 首先构造 线性组合即可得如下的Lagrange插值多项式：
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其中
c．Lagrange插值余项
注：上述两种构造方法所得的Lagrange插值多项式是一样的，即满足插值条件
Lagrange插值多项式是唯一的。Lagrange插值会发生Runge现象。
2）分段线性插值
作分段线性插值的目的在于克服Lagrange插值方法可能发生的不收敛性缺点。所谓分段线性插值就是利用每两个相邻插值节点作线性插值，即可得如下分段线性插值函数：
的
其中
特点：插值函数序列
具有一致收敛性，克服了高次Lagrange插值方法的缺点，故可通过增加插值节
点的方法提高其插值精度。但存在于节点处不光滑、插值精度低的缺点。
3）三次样条插值
三次样条插值的目的在于克服Lagrange插值的不收敛性和提高分段线性插值函数在节点处的光滑性。所谓三次样条插值方法就是在满足下列条件：
a． b．
在每个子区间
上是三次多项式的三次样条函数中寻找满足如下插值条件：
一及形如
等边界条件的插值函数
的方法。
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特点：三次样条插值函数序列
4）插值方法的Matlab实现
一致收敛于被插函数，因此可通过增加节点的方法提高插值的精度。
a．对于Lagrange插值必须自编程序 b．低次插值的Matlab命令 分段线性插值：
y=interp1(x0, y0, x)，其中输入离散数据x0、y0、x，输出对应x的插值y。 三次样条插值：
y=interp1(x0, y0, 'spline') 或
y=spline(x0, y0, x)
其中，x0、y0、x和y的意义同上。
2 数值积分
2.1 数值积分的基本思路
2.2 三种常用数值积分方法
1) 梯形公式
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2) 辛普森公式
3) 高斯求积公式
Gauss-Lobatto公式 P60
4）数值积分的Matlab实现
trapz(x)
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用梯形公式计算(h=1)，输入数组x为各区间端点的函数值。 trapz(x,y)
用梯形公式计算，输入x,y为同长度的数组，输出y对x的积分(步长可不相等)。 quad('fun',a,b,tol)
用自适应辛普森公式计算，输入被积函数fun可以自定义如exp(-x.^2)，也可以是fun.m命名的函数M文件，积分区间(a,b)，绝对误差tol，输出积分值。
quadl('fun',a,b,tol)
用自适应的Gauss-Lobatto公式计算，其余同上。
常微分方程的初值问题
2.初值问题的数值解法
2.1 欧拉方法
欧拉方法的基本思想
向前欧拉公式
向后欧拉公式
改进的欧拉公式
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精度归纳：
向前1阶 向后1阶 梯形2阶 改进欧拉2阶 O（h^p+1）——p阶精度
2.2 龙格-库塔方法
龙格-库塔方法的基本思想
龙格-库塔方法一般形式
经典的龙格-库塔方法
常微分方程组和高阶方程初值问题的数值方法 P73\74
高阶方程，需要先降阶化为一阶常微分方程组
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2.3 龙格-库塔方法的MATLAB实现
2.4 算法的收敛性、稳定性分析
收敛性分析
P81
稳定性分析
P81
向后欧拉公式无条件稳定
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刚性现象与刚性方程
精度——慢稳态解的特征根决定 步长——快稳态解
快慢稳态解衰减速度（两个特征根）相差悬殊——刚性现象——刚性方程 求解ode23s,ode15s
线性代数方程组的一般形式和解法
2.求解线性代数方程组的直接法