【本讲主要内容】
圆周运动、向心加速度、向心力
描述圆周运动的量间的关系，实际圆周运动问题中的向心力分析。
【知识掌握】 【知识点精析】
1、匀速圆周运动的特点
如果质点沿圆周运动，在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动叫匀速圆周运动。 匀速圆周运动的轨迹为曲线，v方向时刻在变，快慢程度不改变，是变速运动，做匀速圆周运动的物体状态是非平衡态，所受合外力不为零，是变加速运动（a方向时刻在变）。 2、描述圆周运动的物理量
（1）线速度：线速度大小又叫速率，用v表示，v 的时间，速率越大则沿弧运动得越快。
线速度的方向为圆的切线方向。 线速度就是圆周运动的瞬时速度。
（2）角速度：连接质点和圆心的半径转过的角度 ，与所用时间的比叫角速度
S
，S为弧长，t为通过这段弧长t
t
。
的单位是弧度，时间t单位是秒， 的单位就是弧度/秒，用字母表示为rad/s，角
速度的大小描述了做圆周运动绕圆心转动快慢程度。角速度大则绕圆心转得快。对一个不变
形的物体转动中任何点转过的角度都相同，所以角速度都相同。
（3）周期：使圆周运动的物体运动一周的时间叫周期，用字母T表示，单位为秒。 周期描述圆周运动重复的快慢，也反映了转动快慢。周期越小，转动越快。
（4）频率：1秒内完成圆周运动的次数叫频率。它是周期的倒数，单位是1/秒。用符号f表示，单位又叫赫兹（Hz），f越大，转动就越快。 （5）转速：工程技术中常用。定义为每秒转过的圈数，数值与频率相同，单位也是1/秒。
（6）v、 、T、f的关系： T = 1/f = 2π/ω = 2π r/v ω = 2π/T = 2π f = v/r v = ω r = 2π r/T = 2π f r n f
1 T
例1、地球自转的问题
讨论1：比较在北京和在赤道两处物体随地球做自转的角速度。
地球表面上的物体随地球做匀速圆周运动的角速度都相同。由于地球自转周期为T＝24h，故可求得地球自转角速度 ＝7.3×10rad／s
讨论2：比较在北京和在赤道两处物体随地球自转的线速度。 当角速度一定时，赤道处转动半径最大，故线速度最大，随着纬度增大，转动半径减小，线速度减小，设地球半径为R，则在纬度为 时的线速度为v r Rcos 。 例2、传动装置的问题
抓住：凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点，角速度相等（轴上的点除外）。
-5
3、向心加速度：
（1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。 （2）大小：a向= v2/r= v ω= ω2 r= （4π2/T2） r= 4π2 f2 r 注意：a与r是成正比还是反比要看前提条件。
例1、如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d
解：va= vc，ωa∶ωb=2∶1，而ωb=ωc=ωd ，所以ωa∶ωb∶ωc∶ωd =2∶1∶1∶1；而vb∶vc∶vd =1∶2∶4，所以va∶vb∶vc∶vd =2∶1∶2∶4；再利用a=vω，可得aa∶ab∶ac∶ad=4∶1∶2∶4
（3）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化。 4、向心力：
（1）作用：用于产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。向心力不做功。
小结：与速度方向垂直的力只改变速度的方向，平行速度方向的力只改变速度的大小。 （2）大小：F向= m a向= m v2/r = m v ω=m ω2 r =m （4π2/T2） r = m （4π2 f2） r （3）方向：总沿半径指向圆心。
5、匀速圆周运动条件：物体所受的合力完全充当匀速圆周运动的向心力。
v2
m 2R方向总指向圆当物体做匀速圆周运动，外力或几个外力的合力大小F mR
心，就是做匀速圆周运动所需要的力恰好与合外力相等。 ．．．．
如果沿半径方向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体将做向心运动，半径将减小；如果沿半径方向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体将做离心运动，半径将增大。
注意：向心力是效果力，而非独立性质的力。任何一个力或几个力的合力只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力；不能认为做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用外，还要另外受到向心力。例： 带电粒子垂直射入匀强磁场做匀速圆周运动F向=f洛 电子绕原子核旋转 F向=F库
天体运转：F向=F引
水平转盘上跟着匀速转动的物体 F向=f静。
绳（弹簧）拉小球在光滑水平面匀速转动 F向=T（F向=f弹） 圆锥摆：F向=F合（重力和弹力的合力） 6、非匀速圆周运动： 线速度大小有变化，因而物体所受合力产生切向加速度和向心加速度两个效果，可利用圆周运动的向心力公式解某瞬时的情况。 7、解题方法：
（1）确定物体匀速圆周运动的轨道平面、圆心的位置及圆周运动的半径；
（2）分析受力：当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和
切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。 （3）表达物体所受的合力（沿半径方向）； （4）列合力充当向心力的方程。
做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：Fn=man在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体
2
2 需要的向心力（可选用mv或m 2R或m 。 R等各种形式）
R T
8、典型问题：
2
（1）火车转弯
火车左右两侧的车轮分别沿铁轨运动，沿直线运动时，两条钢轨位于同一水平面内以防侧倾倒。而当火车转弯时，有向心加速度需要向心力，为此使钢轨不在一个平面内，外侧高而内侧低，本身不再是竖直的但能顺利转弯而不发生侧倾，否则车辆不能受到外力，要做离心运动，发生倾覆。
见下图，列车转弯时，靠近圆心一侧为内侧，另一侧为外侧，相应为内轨、外轨，与列车前进方向无关。
取水平面内转弯半径为r，内外轨距为d，内外轨高度差为h。转弯时竖直截面见图，由于转弯在水平面内转弯半径为水平方向，向心加速度为水平方向。列车受力有重力，竖直向下，路轨支持力FN方向与双轨连线垂直，这两个力的合力做向心力，沿水平方向为F心。