9分
12分 2分 4分
2sinBcosA sin A C 0 5分
0 A ,sinB 0,cosA
1
, A 7分 23
【解2】. 由 2b c cosA acosC 0，
余弦定理得 2b c
b2 c2 a2a2 b2 c22bc a2ab 0 2
2
2
b2 c2 a2整理得b c a bc， cosA
2bc 1
2
0 A ,cosA
12, A
3
． （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） （2） S ABC
12bcsinA 33
4
即
1 32bcsin3 4
bc 3又a2
b2
c2
2bccosA, b2
c2
6 故 b c 2
0 b c 所以， ABC为等边三角形． 文:
【解1】. 由 2b c cosA acoCs 0,
由正弦定理得 2sin
B sinC cosA sinAcoCs 0 2sinBcosA sin
A C 0 0 A ,sinB 0,cosA
12, A
3
． 【解2】. 由 2b c coAs
acoCs 0， 10分
12分 14分
4分 5分 7分
b2 c2 a2a2 b2 c2
a 0 余弦定理得 2b c
2bc2abb2 c2 a21
整理得b c a bc， cosA
2bc2
2
2
2
0 A ,cosA
1
, A ． 23
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） 21. （1）【解】
①（理）若f x x是“ 函数”，则存在实数对 a,b ，使得f a x f a x b，
3
即a2 x2
2
3
b时，对x R恒成立 2分
2
而x a b最多有两个解，矛盾，
因此f x x不是“ 函数” -3分
3
（文）若f x x是“ 函数”，则存在实数对 a,b ，使得f a x f a x b， 即a2 x2
2
b时，对x R恒成立 2分
2
而x a b最多有两个解，矛盾，
因此f x x不是“ 函数” 3分② 答案不唯一：如取a 0,b 1，恒有2
0 x
20 x 1对一切x都成立， 5分
x
即存在实数对 0,1 ，使之成立，所以，f x 2是“ 函数”． 6分 一般地：若f x 2是“ 函数”，则存在实数对 a,b ，使得2
x
a x
2a x 22a b
即存在常数对a,2
2a
满足f a x f a x b，故f x 2
x
是“ 函数”．
x是一个“ 函数” （2）解 函数f x tan
设有序实数对 a,b 满足，则tan a x tan a x b恒成立 当a k
2
,k Z时，tan a x tan a x cot2x，不是常数； 8分
因此a k
2
,k Z，当x m
2
,m Z时，
tana tanxtana tanxtan2a tan2x
b， 10分 则有22
1 tanatanx1 tanatanx1 tanatanx
即btan2a 1tan2x (tan2a b) 0恒成立，
22
b tana 1 0 tana 1 a k 所以 42
b 1 tana b 0 b 1
当x m
k Z 13分
2
,m Z,a k
4
时，tan a x tan a x cot a 1
满足f x tanx是一个“ 函数”的实数对 a,b k
,1 ,k Z 4
14分 22. 理:
（1）【解】由a1 1，an 1 f an
3an331
,a3 ,a4 3分 得a2 5732an 3
（2）【解】由an 1
3an112
得 8分
2an 3an 1an3
所以，
1 2是首项为1，公差为的等差数列 9分
3 an
（3）【解】由（2）得
122n 13
-10分 1 n 1 ,an
an332n 1
当n 2时 ，bn an 1an
9 11
，当n 1时，上式同样成立， 12分
2 2n 12n 1
所以Sn b1 b2 bn
9 11111 9 1
1 1
2 3352n 12n 1 2 2n 1
因为Sn
m 20129 1 m 2012
，所以 1 对一切n N成立， 14分 22 2n 1 2
又
9m 20129 1 1 9
， 1 ，所以 1 随n递增，且limn 222n 122 2n 1
所以m 2021， mmin 2021 16分
文:
2
(1) 【解】. 由x y得2p 1 所以 准线为y
1
3分 4
2
(2) 【解】. 由x y得2p 1 所以,焦点坐标为 0,
1
4分 4
由A作准线y
1
的垂线,垂足为Q ,当且仅当三点P,A,Q共线时, 4
125
, 7分 AP AF的最小值，为6 44
此时A点的坐标为 2,4 9分 (3)【解1】
设点M的坐标为 x,y ,BC边所在的方程为y kx 1(k显然存在的), ① 10分 又AM的斜率为
yyx
,则有 k 1 ,既k 代入① 14分
xxy
故M点轨迹为y2 x2 y 0(x 0) (注:没写x 0扣1分) 16分【解2】
设点M的坐标为 x,y ,由BC边所在的方程过定点N(0,1), 10分
(x,y), ( x,1 y) 12分 0 0,
所以, x x y(1 y) 0, 既y2 x2 y 0(y 0) 16分 (注:没写y 0扣1分) 23. 理:
2
(1) 【解】. 由x y得2p 1 所以,焦点坐标为 0,
1
3分 4
(2) 【解1】设点M的坐标为 x,y ,BC边所在的方程为y kx b(k显然存在的),与抛物线x2 y交于B x1,y1 ,C x2,y2
y kx b2则 得x kx b 0,x1 x2 k,x1x2 b 5分 2
y x
又点B,C在抛物线 上,故有y1 x1,y2 x2, y1y2 x1x2 b2