2
2
22
x1x2 y1y2 b b2 0 b 1或b 0(舍)
y kx 1 -------① 7分
又AM的斜率为
yyx
,则有 k 1 ,既k 代入①
xxy
故M点轨迹为y2 x2 y 0(x 0) (注:没写y 0扣1分) 9分 另解:由上式①过定点P(0,1), (x,y), ( x,1 y) 0, 所以, x x y(1 y) 0, 既y2 x2 y 0(y 0) 【解2】设点M的坐标为 x,y ,AB方程为y kx,由 BAC
2
得AC方程为
y kx1 11 2
y x,则 得, 同理可得CBk,k ,2 2
k kk y x
1
2)(x k)恒过定点P(0,1), BC方程为y k2 (
1k
k
k2
(x,y), ( x,1 y) 0, 所以, x x y(1 y) 0, 既y2 x2 y 0(y 0)
(注:没写y 0扣1分)
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） (3) 【解1】
若存在AB边所在直线的斜率为2的正三角形ABC,设A(p,p),B(q,q),
2
2
q2 p2
(其中不妨设p q), 则 2 , p q 2 ------① 11分
q p
令AB a,则 q p q2 p2
2
2
2
a2,即 q p q p q p
2
2
2
a2
将①代入得,3 q p a2,
q p
a
p q -----------------② 13分 3
线段AB的中点为M,由①, ②得M的横坐标为
2
2
p q2
,
22
p2 q2 q p q p 1a2
M的纵坐标为 15分
24212
又设 1,2 由
得
31 2aa 3
,( a , a) 222 23
21a2 2aa 22a2a1
2,2 12 2, 2 2 2a,12 2 2
点C在抛物线x2 y上,则又因为a 0 , a 【解2】
设A(p,p2),B(q,q2),C(r,r2)
1212
a 6a 6 1 a ,即5a2 18a 0, 122
18
18分 5
ABC的三边所在直线AB,BC,CA的斜率分别是
p2 q2q2 r2r2 p2
p q, q r, r p ------① 12分
p qq rr p
若AB边所在直线的斜率为2,AB边所在直线和x轴的正方向所成角为
, 0 x 900 ,则tan ,
q r tan 60所以 14分 0
r p tan 60
tan tan6002 3q r
1 tan tan6001 6
即
r p tan tan60 2 3 1 tan tan6001 6
又p q tan 所以, AB
, q p
6-----② 5
2--------------③ 16分
q p 2 q2 p22
q p21 q p2
将②, ③代入上式得边长AB
18
18分 5
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） 文:
（1）【解】由a1 1，an 1 f an
3an331
,a3 ,a4 3分 得a2 5732an 3
（2）【解】由an 1
3an112
得 8分
2an 3an 1an3
1 2
所以， 是首项为1，公差为的等差数列 9分
3 an
（3）【解】 由（2）得
122n 13
11分 1 n 1 ,an
an332n 1
9 11
，当n 1时，上式同样成立， 13分
2 2n 12n 1
9 11111 9 1
1 1
2 3352n 12n 1 2 2n 1
当n 2时 ，bn an 1an
所以Sn b1 b2 bn
因为Sn
m 20129 1 m 2012
，所以 1 对一切n N成立， 16分 22 2n 1 2
又
9m 20119 1 1 9
， 1 ，所以 1 随n递增，且limn 222n 122 2n 1
所以m 2020， mmin 18分 202 0