高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1.了解平面向量基本定理及其意义．
2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
【热点题型】
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋
μAN →，则λ＋μ等于( ) A.15B.25C.35D.45
(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为
________．
答案 (1)D (2)311
解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，
所以AB →＝85AN →－45AM →，
所以λ＋μ＝45.
(2)设BP →＝kBN →，k ∈R.
因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →
＝AB →＋k(AN →－AB →)＝AB →＋k(14AC →－AB →)＝(1－k)AB →＋k 4AC →，
且AP →＝mAB →＋211AC →，
所以1－k ＝m ，k 4＝211，
解得k ＝811，m ＝311.
【提分秘籍】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【举一反三】
已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( )
A.23
B.43
C ．－3
D ．0
题型二平面向量的坐标运算
例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，
(1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；
(3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．
解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．
(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，
∴????? －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得?????
m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，
∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，
∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．∴MN →＝(9，－18)．
【提分秘籍】
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
【举一反三】
(1)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )
A ．(－2，－1)
B ．(－2,1)
C ．(－1,0)
D ．(－1,2)
(2)已知A(7,1)、B(1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.
题型三向量共线的坐标表示
例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m)，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.
(2)(·陕西)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cosθ)，b ＝(cosθ，1)，若a ∥b ，则tanθ＝________.
【提分秘籍】
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ∥b 的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a ∥b(b≠0)，则a ＝λb.
(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
【举一反三】
(1)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D 的坐标为________．
(2)△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若p ＝(a ＋c ，b)，q ＝(b －a ，c －a)，且p ∥q ，则角C ＝________.
答案 (1)(2,4) (2)60°
解析 (1)∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，∴DC →＝2AB →.
设点D 的坐标为(x ，y)，
则DC →＝(4,2)－(x ，y)＝(4－x,2－y)，
AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴????? 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得?????
x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． (2)因为p ∥q ，
则(a ＋c)(c －a)－b(b －a)＝0，
所以a2＋b2－c2＝ab ，
所以a2＋b2－c22ab
＝12， 结合余弦定理知，
cosC ＝12，又0°<C<180°，
所以C ＝60°.
【高考风向标】
1.【高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( )
（A ）(7,4)--（B ）(7,4)（C ）(1,4)-（D ）(1,4)
【答案】A
【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(7,4)，故选A.
1．（·重庆卷） 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b)⊥c ，则实数k ＝( )
A ．－92
B ．0
C ．3 D.152
【答案】C
【解析】∵2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)，又(2a －3b)⊥c ，∴(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.
2．（·福建卷） 在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )
A ．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B ．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C ．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D ．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
【答案】B
【解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.
3．（·山东卷） 已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b ，且y ＝f(x)的图像过点????π12，3和点????2π3，－2.
(1)求m ，n 的值；
(2)将y ＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图像，若y ＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间．