【解析】(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x ＋ncos 2x.
因为y ＝f(x)的图像过点????π12，3和点???
?2π3，－2， 所以???3＝msin π6＋ncos π6，
－2＝msin 4π3＋ncos 4π3，
即?????3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，
解得m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ???
?2x ＋π6. 由题意知，g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ????2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．
由题意知，x20＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．
将其代入y ＝g(x)得，sin ???
?2φ＋π6＝1. 因为0<φ<π，所以φ＝π6.
因此，g(x)＝2sin ???
?2x ＋π2＝2cos 2x. 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k ∈Z 得kπ－π2≤x≤kπ，k ∈Z ，
所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为???
?kπ－π2，kπ，k ∈Z. 4．（·陕西卷） 设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．
【答案】12
【解析】因为向量a ∥b ，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12.
5．（·陕西卷） 在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．
(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；
(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．
(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →，
∴(x ，y)＝(m ＋2n ，2m ＋n)，
∴?
????x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，
两式相减得，m －n ＝y －x ，
令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.
6．（·安徽卷） 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝
2，则点集{P|OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )
A ．2 2
B ．2 3
C ．4 2
D ．4 3
【答案】D
【解析】由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得点A ，B 在圆x2＋y2＝4上且∠AOB ＝60°，在平面直角坐标
系中，设A(2，0)，B(1，3)，设P(x ，y)，则(x ，y)＝λ(2，0)＋μ(1，3)，由此得x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得μ＝y 3，λ＝12x －12 3
y ，由于|λ|＋|μ|≤1， 所以12x －12 3y ＋13y≤1， 即|3x －y|＋|2y|≤2 3.
①???3x －y≥0，y≥0，3x ＋y≤2 3或②???3x －y≥0，
y<0，3x －3y≤2 3
或 ③???3x －y<0，
y≥0，
－3x ＋3y≤2 3或④???3x －y<0，y<0，－3x －y≤2 3.
上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是4 3.
7．（·湖南卷） 已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的取值范围是
( )
A ．[2－1，2＋1]
B ．[2－1，2＋2]
C ．[1，2＋1]
D ．1，2＋2
【答案】A
【解析】由题可知a·b ＝0，则a ⊥b ，又|a|＝|b|＝1，且|c －a －b|＝1，不妨令c ＝(x ，y)，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1，又|c|＝x2＋y2，故根据几何关系可知|c|max ＝12＋12＋1＝1＋2，|c|min ＝12＋12－1＝2－1，故选A.
8．（·北京卷） 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝
________．
图1－3 【答案】4 【解析】以向量a 和b 的交点为原点，水平方向和竖直方向分别为x 轴和y 轴建立直角坐标系，
则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，则?????－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得?????λ＝－2，
μ＝－12
，所以λμ＝4. 9．（·辽宁卷） 已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( )
A.????35，－45
B.????45，－35
C.????－35，45
D.???
?－45，35 【答案】A
【解析】∵AB →＝(3，－4)，∴与AB →方向相同的单位向量为AB →|AB →|
＝????35，－45，故选A. 10．（·天津卷） 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则
AB 的长为________．
【答案】12
11．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．
【答案】2
【解析】如图，建立直角坐标系，
则AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，AE →·BD →＝2.
12．（·重庆卷） 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F1
作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，若PQ ⊥P′Q ，求圆Q 的标准方程．
图1－9
【解析】(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a2＋22b2＝1，从而e2＋4b2＝1.
由e ＝22得b2＝41－e2＝8，从而a2＝b21－e2
＝16. 故该椭圆的标准方程为x216＋y28＝1.
13．（·重庆卷） 在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1|＝|OB2→|＝1，AP →＝AB1→＋AB2→.若|OP →|＜12，则|OA →|的取值范
围是( )
A.?
????0，
52 B.? ????52，72 C.? ????52，2 D.? ????72，2
【答案】D
【高考押题】
1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )
A.?
???35，－45B.????45，－35 C.????－35，45D.???
?－45，35 答案 A
解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，
∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|
＝????35，－45. 2．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于