，其中R是三角形ABC外接圆半径，a b b
2R2R
ABC为等腰三角形
uvuv
解（2）由题意可知m//p 0,即a(b 2) b(a 2) 0
即a
a b ab
由余弦定理可知， 4 a b ab (a b) 3ab
222
即(ab)2 3ab 4 0
ab 4(舍去ab 1)
11
S absinC 4 sin
223
2、 与函数的结合
向量与函数的结合，是以向量为载体来考查函数，所以本质上仍然是函数题 4.已知集合M={1,2,3},N={1,2,3,4}.定义函数
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f:M N.若点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3))若三角形ABC的外接圆圆心为D,且DA DC DB( R)则满足条件的函数f(x)有（ ）
A 6个 B 10个 C 12个 D 16个
5.（湖北理17）．已知向量a (x,x 1),b (1 x,t),若函数f(x) a b在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
分析：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析
和解决问题的能力。
解法1：依定义f(x) x(1 x) t(x 1) x x tx t,
2
3
2
2
则f (x) 3x2 2x t.
若f(x)在( 1,1)上是增函数,则在( 1,1)上可设f (x) 0.
f (x) 0 t 3x2 2x,在区间( 1,1)上恒成立,考虑函数g(x) 3x2 2x,1
由于g(x)的图象是对称轴为x ,
3
2
开口向上的抛物线，故要使t 3x 2x在区间（－1，1）上恒成立 t g( 1),即t 5.
而当t 5时,f (x)在( 1,1)上满足f (x) 0,即f(x)在( 1,1)上是增函数. 故t的取值范围是t 5.
解法2：依定义f(x) x(1 x) t(x 1) x x tx t,
2
3
2
f (x) 3x2 2x t.
若f(x)在( 1,1)上是增函数,则在( 1,1)上可设f (x) 0.
f (x)的图象是开口向下的抛物线，
当且仅当f (1) t 1 0,且f ( 1) t 5 0时 f (x)在( 1,1)上满足f (x) 0,即f(x)在( 1,1)上是增函数.故t的取值范围是t 5.
3、 与解析几何的结合
平面向量与解析几何结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算
y2
1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1 MF2 0,则点M到x轴的距离为（C） 6．已知双曲线x 2
45
（A） （B） （C
） （D
333
2
7．已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P
（x，y）的轨迹方程为（ B ）
MN NP 0，则动点P
（A）y2 8x （B）y2 8x （C）y2 4x （D）y2 4x
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8.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足PA PB x，则点P的轨迹是（D） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 [点评]此题考查轨迹方程和向量的基本运算等知识，属于较简单的题.
2
x2
9.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆C: y2 1的右焦点为F,右准线为l，点A l，线段AF交C于点B，若
2
FA 3FB,则|AF|=
2
解:过点B作BM l于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA 3FB,故|BM| .又由椭圆
3
的第二定义,
得|BF|
2 |AF| 故选A
233
x2y2
10.（2009浙江理）过双曲线2 2 1(a 0,b 0)的右顶点A作斜率为 1的直线，该直线与双曲线的两条
ab
1
渐近线的交点分别为B,C．若AB BC，则双曲线的离心率是 ( )
2
A
B
C
D
答案：C
【解析】对于A a,0 ，则直线方程为x y a 0，直线与两渐近线的交点为B，C，
a2ab a2abB ,, )， ,C(
a ba b a ba b
ab2a2b2a2b ab , ),AB ,则有BC (2 ，
a b2a2 b2a ba b
22
因2AB BC, 4a b, e
x2y2
11.（2009浙江文）已知椭圆2 2 1(a b 0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF x轴，
ab
直线AB交y轴于点P．若AP 2PB，则椭圆的离心率是（ ）
A
11 B
． C． D．232
D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．
1
【解析】对于椭圆，因为AP 2PB，则OA 2OF, a 2c, e
2
x2y2
2 1(b 0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y x，12.（2009四川卷文）已知双曲线
2b
点P(,y0)在双曲线上.则PF1·PF2＝
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A. －12 B. －2 C. 0 D. 4 【答案】C
【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）
2
解析：由题知b 2，故y0 3 2 1,F1( 2,0),F2(2,0)，
∴PF1 PF2 ( 2
3, 1) (2 3, 1) 3 4 1 0，故选择C。
x2y2
解析2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程 1，则左、右焦点坐标分别为F1( 2,0),F2(2,0)，
22
再将点Py
0)代入方程可求出P 1)，则可得PF1 PF2 0，故选C。
x2y2
13.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线C2 2 1 a 0,b 0 的右焦点为F,过F
C于
ab
A、B两点，若AF 4FB,则C的离心率为
A．
6759
B. C. D. 5585
作
x2y2
解：设双曲线C2 2 1的右准线为l,过A、B分 别
ab
AM l于M,BN l于N, BD AM于D,由直
率
为
线AB的斜
,知直线
AB的倾斜角为
60 BAD 60 ,|AD|
由
双
曲
线
的
1
|AB|, 2
第
二
定
义
有
1 11
|AM| |BN| |AD| (|AF| |FB|) |AB| (|AF| |FB|).
e22
5 16
又 AF 4FB 3|FB| |FB| e 故选A
e25
x2y2
14.（2009年上海卷理）已知F1、F2是椭圆C:2 2 1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，