18k21
,xx 12
3k2 43k2 4
A
l
P
y
因为OAPB为矩形，故OA OB
则x1x2 y1y2 0，x1x2 kx1 3 kx2 3 0
O
x
k
2
1x1x2 3k x1 x2 9 0
21k2 13 18k2
由此可得： 2 9 0
2
3k 43k 4
解得：k2
516
k
OAPB为矩形．
因此，当直线的斜率为20【文】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点M(1, 3)，N(5,1)，若点C满足
OC tOM (1 )tO(N t，点)RC的轨迹与抛物线y2 4x交于A、B两点；
（1）求点C的轨迹方程；
（2）求证：OA OB；
（3）在x轴正半轴上是否存在一定点P(m,0)，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）设C(x,y)，由OC tOM (1 t)ON知，点C的轨迹为y x 4.
（2）由
y x 42
消y得：x 12x 16 0 2
y 4x
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x2 16，x1 x2 12,
所以y1y2 (x1 4)(x2 4) 16，所以x1x2 y1y2 0，于是OA OB
（3）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为x ky m,由
x ky m2
消x得：y 4ky 4m 0，设E(x3,y3)，F(x4,y4)， 2
y 4x
则y3 y4 4k，y3y4 4m.
因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以OE OF即x3x4 y3y4 0,所以
y32y42
y3y4 0得m 4，所以存在m 4. 16
21．已知A、B为抛物线x2=2py (p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D.
高中 向量学习 必备
（1）若OA OB 6，求抛物线的方程。 （2）CD是否恒存在一点K，使得KA KB 0
解：（1）提示：记A（x1,y1）、B （x2,y2）设直线AB方程为y kx 抛物线方程得x2-2kpx-p2=0 ，x1x2 p,y1y2
2
p 6 x1x2 y1y2 34
2
1
p2
代入
p2
（2）设线段AB中点P在在准线上的射影为T，
则TA TB
(TP PA) (TP PB) TP (PA PB) PA PB
2
－＝0 －＝ ＝4
44
4
2
2
2
2
故存在点K即点T，使得KA KB 0
22.设平面内向量a＝（x，0）、b＝（1，y），满足：(a＋b)⊥(a－3b)（1）求点P（x，y）的轨迹方程；（2）若直线l：y＝kx＋m （km≠0）与所求曲线C交于A、B两点，D（0，－1）且|AD|＝|BD|,求m的取值范围。
【解】（1）∵(a＋b)⊥(a－3b) ∴(a＋3b)·(a－3b)＝0
22
∴－3＝0 ∴x 3(1 y) 0
22
x2即 y2 1为所求曲线的轨迹方程。
3
（2）设A（x1,y1）、B（x2,y2），
y kx m 222
(1 3k)x 6kmx 3(m 1) 0 ① 由 x2得：2
y 1 3
6km
x x 12 1 3k2则 ② ∵ ( x1, 1 y1)， ( x2, 1 y2) 2
xx 3(m 1)12 1 3k2
2222
∵|AD|＝|BD| ∴x1 (1 y1)＝x2 (1 y2)
即：(x1 x2)(x1 x2) (2 y1 y2)(y1 y2) 0
3k2 1
∴x1 x2 k(2 kx1 m kx2 m) 0把②代入，解得m＝③
4
由①得：△＝36km 12(1 3k)(m 1)＝12(m2 1 3k2)>0 把③代入化简得：m2 4m>0 m>4或m<0
2
2
2
2
3k2 11
又∵m＝ （k≠0）
44
高中 向量学习 必备
∴0>m
1
4
或m>4为所求的m的取值范围。 23. (重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点
(3,0)。
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 若直线l：y kx 2与双曲线C恒有两和B，且 2(其中O为原点)，求k的取值
解：（Ⅰ）设双曲线方程为x2y2
a2 b
2 1
由已知得a
,c 2,再由a2 b2 22,得b2 1.
故双曲线C的方程为x2
3
y2 1.
x2
（Ⅱ）将y kx 2代入3
y2 1得 (1 3k2)x2 62kx 9 0.
由直线l
与双曲线交于不同的两点得 1 3k2
0,
)2 36(1 3k2) 36(1 k2
) 0.
即k2
1
3
且k2 1. ① 设A(xA,yA),B(xB,yB)，则
x 9
A xB 1 3k2,xAxB 1 3k
2
,由OA OB 2得xAxB yAyB 2,
而xAxB yAyB xAxB (kxA kxB (k2 1)xAxB (xA xB)
2
(k2
1) 93k2 7
1 3k21 3k2
2 3k2 1
. 于是3k2 73k2 1 2,即 3k2 93k2
1 0,解此不等式得13
k2 3. ② 由①、②得
1
3
k2 1. 故k
的取值范围为( 1,
为(2,0)，右顶点为
个不同的交点A范围。
(a 0,b 0).
高中 向量学习 必备
24.(天津市十二区县重点中学)
x2y2
如图，若F1,F2为双曲线2 2 1的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且
ab
满足F1O PM,
F1M PO 0
（Ⅰ）求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）若此双曲线过点N(2,),求双曲线的方程；
（Ⅲ）设（Ⅱ）中双曲线的虚轴端点为B1,B2(B1在y轴的正半轴上），过B2点作直线l与双曲线交于A,B两
点，当B1 B1时，求直线l的方程。
解．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由F1O PM知四边形PF1OM是平行四边形， 又F1M PO 0，四边形PF1OM是菱形 设焦半距为c，则OF1 PF1 PM c
2分
∴PF2 PF1 2a=c+2a， 由双曲线第二定义
4分
PF2
可知
PM
e,即
c 2a
e, e 2 （6分） c
c
（Ⅱ）∵e=2= ∴c=2a
ax2y2
∴双曲线方程为2 2 1
a3a
又∵双曲线过点N（2，），∴
432
，即a 3 122
a3a
8分
x2y2
1 ∴所求双曲线方程为39
（Ⅲ）由题意知B1（0，3），B2（0，-3），
设直线l的方程为y=kx-3，A（x1，y1），B（x2，y2）