用10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形 分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当n=10时，m=2． 故答案为：2；1；2；2．
问题解决：由规律可知，答案为：k；k﹣1；k；k． 问题应用：2016÷4=504，504﹣1=503， 当三角形是等边三角形时，面积最大， 2016÷3=672，
∴用2016根相同的木棒搭一个三角形，能搭成503种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒．
点评：本题考查的是作图应用与设计作图、三角形三边关系，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图，根据三角形两边之和大于第三边和等腰三角形的性质进行解答． 对应训练
3．（2014?湖北荆门,第11题3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（ ）
第1题图
A．（）n?75°
B． （）n1?65°
﹣
C． （）n1?75°
﹣D． （）n?85°
全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com
最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com
考点： 等腰三角形的性质． 专题： 规律型．
分析： 先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．
解答： 解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB， ∴∠BA1C=
=75°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°； 同理可得，
∠EA3A2=（）2×75°，∠FA4A3=（）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n1×75°．
﹣
故选：C．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
考点四：存在探索型：
此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．
例4 （2015?黄石第24题，9分）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．
（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；
（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．
全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com
最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
分析：（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；
②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；
（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式得出
，
，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内
角和定理即可得出∠AEB=θ．
解答：（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′， ∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′， ∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点， ∴OC=OD， ∴OC′=OD′， 在△AOC′和△BOD′中，∴△AOC′≌△BOD′（SAS）， ∴AC′=BD′；
②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示： ∵△AOC′≌△BOD′， ∴∠OAC′=∠OBD′，
又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°， ∴∠OBD′+∠BFE=90°， ∴∠BEA=90°， ∴AC′⊥BD′；
（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示： ∵△OCD旋转到△OC′D′，
∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′， ∵CD∥AB，
，
全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com
最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
分析：（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；
②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；
（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式得出
，
，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内
角和定理即可得出∠AEB=θ．
解答：（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′， ∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′， ∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点， ∴OC=OD， ∴OC′=OD′， 在△AOC′和△BOD′中，∴△AOC′≌△BOD′（SAS）， ∴AC′=BD′；
②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示： ∵△AOC′≌△BOD′， ∴∠OAC′=∠OBD′，
又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°， ∴∠OBD′+∠BFE=90°， ∴∠BEA=90°， ∴AC′⊥BD′；
（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示： ∵△OCD旋转到△OC′D′，
∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′， ∵CD∥AB，
，
全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com