（1）小明冥思苦想许久而不得解，只好去问老师．老师给他分析了如下的思路．
根据上述思路，小明终于会证明了．请你完整地书写本题的证明过程． （2）证明完后，老师又提出了如下问题让小明解答：若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD． 考点： 全等三角形的判定与性质． 分析： （1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED，根据AAS证出两三角形全等即可． （2）求出∠A=∠C=45°，∠ABP=∠3=∠4，根据AAS证出△ABP≌△CPD即可． 解答： （1）证明：∵PB=PD， ∴∠2=∠PBD， ∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠C=45°， ∵BO⊥AC， ∴∠1=45°， ∴∠1=∠C=45°， ∵∠3=∠PBC﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C， ∴∠3=∠4， ∵BO⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BOP=∠PED=90°， 在△BPO和△PDE中 ∴△BPO≌△PDE（AAS）； （2）证明：由（1）可得：∠3=∠4， ∵BP平分∠ABO， ∴∠ABP=∠3， ∴∠ABP=∠4， 在△ABP和△CPD中 ∴△ABP≌△CPD（AAS）， ∴AP=CD． 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应
角相等． 23．（12分）我们提供如下定理：在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，
如图（1），Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB．
请利用以上定理及有关知识，解决下列问题： 如图（2），边长为6的等边三角形ABC中，点D从A出发，沿射线AB方向有A向B运动点F同时从C出发，以相同的速度沿着射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，DF交射线AC于点G． （1）当点D运动到AB的中点时，直接写出AE的长； （2）当DF⊥AB时，求AD的长及△BDF的面积； （3）小明通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半，他想当点D运动到图3的情况时，EG的长始终等于AC的一半吗？若改变，说明理由；若不变，说明理由． 考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形． 专题： 计算题． 分析： （1）根据D为AB的中点，求出AD的长，在Rt△ADE中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AE的长即可； （2）根据题意得到设AD=CF=x，表示出BD与BF，在Rt△BDF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到BF=2BD，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出BD与BF的长，利用勾股定理求出DF的长，即可确定出△BDF的面积； （3）不变，理由如下，如图，过F作FM⊥AG延长线于M，由AD=CF，且△ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义得到DE=FM，以及AE=CM，利用AAS得到△DEG与△FMC全等，利用全等三角形对应边相等得到EG=MG，根据AC=AE+EC，等量代换即可得证． 解答： 解：（1）当D为AB中点时，AD=BD=AB=3， 在Rt△ADE中，∠A=60°， ∴∠ADE=30°， ∴AE=AD=； （2）设AD=x，∴CF=x， 则BD=6﹣x，BF=6+x， ∵∠B=60°，∠BDF=90°， ∴∠F=30°，即BF=2BD， ∴6+x=2×（6﹣x）， 解得：x=2，即AD=2， ∴BD=4，BF=8， 根据勾股定理得：DF=∴S△BDF=×4×4
=4； ， =8
（3）不变，理由如下，如图，过F作FM⊥AG延长线于M， ∵AD=CF，△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠ACB=∠FCM=60°， 在Rt△ADE和Rt△FCM中， ∴DE=ADsinA=AD，FM=CFsin∠FCM=CF， ∴DE=FM， 同理AE=CM， 在△DEG和△FMG， ， ∴△DEG≌△FMG（AAS）， ∴EG=GM， ∴AC=AE+EC=CM+CE=EG+GM=2GE． 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．