limP?n????n??p???? 1 （5） ?n?此定理表明：当n很大时，n重伯努利试验中事件A发生的频率几乎等于事件A在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
定理3 （切比雪夫大数定律） 设?1,?2,???????n是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数C?0,使有D?i?C,i?1,2,3???，则对于任意的
??0,有
?1n?1n limP???i??E?i????1 （9）
n??ni?1?ni?1?在上述的定理中，因为用到切比雪夫不等式，都有对方差的要求，其实方差这个条件并不是必要的。例如独立同分布时的辛钦大数定律。
该定律的含义是：当n很大，服从同一分布的随机变量的算术平均数将依概率接近于这些随机变量的数学期望。 将该定律应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。 贝努里大数定律 设?n是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有： ??nlimP??p??n???n?????1 ? 该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。 在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。 定理4 （辛钦大数定律） 设?1,?2,???????n是独立同分布的随机变量序列,且有有
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限的数学期望E?i?a?i?1,2????,则对于任意的??0,有
?1n? limP???i?a????1 （10）
n???ni?1?1n1n1np上式也可表示为lim??i?a或??i???a?n???,并且称??i依概
n??nni?1ni?1i?1率
收敛于.
p定理5 （泊松大数定律）设?1,?2,???????n是相互独立的随机变量序列,
P??n?1??pn，P??n?0??qn，其中pn?qn?1，则?1,?2,???????n服从泊松大数
定律。
泊松大数定律是伯努利大数定律的推广，伯努利大数定律证明了事件在完全相同的条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松定理表明，当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性：随着n的无限增大，在n次独立试验中，事件A的频率趋于稳定在各次试验中事件A出现概率的算术平均值附近。
定理6 （马尔科夫大数定律）对于随机变量序列?1,?2,???????n,若有
1?n?D???i??0,n?? 2n?i?1?则有
?1n?1nlimP???i??E?i????1 n??ni?1?ni?1?大数定律的一些应用
大数定律本身便是概率论中非常重要的定理之一，而它与其他数学理论也有密不可分的联系，而且对这些数学理论分支有不可或缺的作用。
大数定律本身便是频率靠近概率的极限理论，是大量随机现象的平均结果稳定于平均值的极限理论。可以说大数定律是利用极限才得出的，同时利用大数定律可以来求解极限，这当然只是众多求极限方法之一，但也有它独特的简洁和巧妙。就以大数定律和极限这个概念的关系为例子，用它来对我们要求的重积分和极限相关的问题进行另一种方式的求解。极限伴随重积分出现的类型在高数中是常见的，在利用大数定律来求解这
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类重积分的极限的题目前，先介绍一个相关定理。
定理7（勒贝格控制收敛定理）
设（1）?fn?是可测集E上的可测函数列；
（2）fn?x??F?x?a.e于E（n=1，2，…..，）且F?x?在E上可积分（称； ?fn? 为F?x?所控制，而F?x?叫控制函数）
（3）fn?x??f?x?； 则f?x?在E上可积分且limn?Efn?x?dx??f?x?dx；
Eaax1a?x2?......?xn例1：已知a?b?0，求lim?......?bdx1......dxn的值。 bbn??x?x2?......?xn00111解：设x1，……xn，为独立同分布的随机变量序列，xn(n?1)服从（0，1）上的
aaabbb均匀分布，x1为独立同分布，x1为独立同分布。且 ,x2,......,xn,x2,......,xn1,i?1
0a?11221E?xia????xia?dxi?,i?1
02a?1Ex??xiadxi?ai1D?xia??E?xa2i???Ex??a2i1a2?1????,i?1 ??2a?1?a?1??2a?1??a?1?21?? ?2nn?1?2a?Dxn1a2a2?又 D?2??222nnn?1n?1?2a?1??a?1??2a?1??a?1?由切比雪夫大数定律可知：当?xn?是独立的同分布的随机变量序列，且
??1n?Dxn1n???，由前面知道是强大数定律可知， limPx?Ex?0????k??1；?k?2n??nnnn?1k?1???k?1???1na1na?由此可知 lim??xk??Exk??0
n??nnk?1?k?1?1na1即 lim?xk?
n??na?1k?1又因为0?xn?1,k?1,且a?b故有x?x,k?1，因此
akbk?x??xakk?1k?1nnbk。
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由此?n，有
??????0110aaaaa11x?x?......?xx1a?x2?......?xn12ndx1......dxn???????bdx1......dxndx1......dxn?1bb00x?xb?......?xbx1b?x2?......?xn12n
根据勒贝格控制收敛定理可知：
baax1a????......?xn???Pd?x1a?x2?......?xnlim?????bdx......dx?lim??= 1n0x?xb?......?xbn??0n???xb????......?xb???12nn?111bx1a????......?xn???Pd?=b?1Pd??b?1Pd? lim?????????n??xb????......?xb???a?1a?11n???aax1a?x2?......?xnb?1即lim?????b。 dx......dx?1n0x?xb?......?xbn??0a?112n11可以看出，利用大数定律求解数学分析中的重积分和极限收敛问题有它简洁的一面，也体现了大数定律等概率论等知识的广泛联系和应用。
1、大数定律在级数上的应用
大数定律在求解无穷级数上也有很大的作用，它为一些定理和固定公式的理论证明提供另一种有趣而且也有用的办法。下面我们就引用一个很著名的问题来展现大数定律在级数中的应用：
伯努利是一位伟大而且著名的数学家，但是他也被一个在现在已经解决的问题难住了：一个求级数和的问题。
求自然数倒数平方的级数和： 1?[7]
1111???......?.....。 223242n2伯努利公开征求这个问题的求解方法。
三十年过后，先是欧拉利用猜度术的方法找出了它的结果，他是第一个找出答案的，但是却不能证明，只能是数据验证，当然，到现在为止，有了很多种证明的方法，其中一种便是利用了大数定律的原理来完成的。
1111?2下面先来看其他方法之一是如何证明1?2?2?2?......2?.....?的设所有
234n6的排列为2<3<5<7<…… A1:?与?互素； 9 A2:?与?的公因子有2； A3:?与?有公因子3； …………. Aq:?与?有公因子q；……. 因此A?是相互独立的，设1,A2,A3,......Aq,....是必然事件?，且知?Ai,i?2,3,.....?中有因子q，那么?必定是q的倍数，那也可知P??是q的倍数?=。 同理也有P??是q的倍数?=道PAq?1? 1q11，那么P??、?有公因子q?=2。由对立事件知qq??1。根据对偶规律A1?A2?A1A2,根据他们的独立性，可知 2qPA1?PA2????????P3A11?2n?1n?1??1??P4.....APqA....???21???21?3??2?????1??.....??1 2q??......根据欧拉的变换无穷乘积为级数的方法 PA1=???6?2. 下面我们就用大数定律的办法来求解这个级数的和。 从自然数中有放回任意取出两个数，设他们的最大公因子是n,事件数为 。 Mn2，Bni表示第i次取出n的倍数事件（i=2，3，4，…..） 根据第一次和第二次从自然数序列中有放回的随机取出两数是n的倍数的条件下，这两数的最大公因子是n的条件概率等于从自然数序列随机取出两数互素的概率。于是有 PMn2Bn1Bn2?P?M21? 显然Mn2?n?1,2,...?是互不相容的，且有?=???Mn2。 n?111Bni与n是相互独立的，P?Bni??,?n?1,2,...?,P?Bn1Bn2??2 nn?????1P????1?P?Mn2???P?Mn2??P?Mn2|Bn1Bn2?P?Bn1Bn2???P?M21?2nn?1?n?1?n?1 10