于是就有P?M21??11?2n?1n??6?2。
根据伯努利大数定律知道，概率可近似的利用频率来表示，因此在如此多的自然书中，随机的取出两数互素的概率为
6。于是知所求级数的和为 2?1111?21?2?2?2?......2?.....?。
234n62、多项式逼近连续函数
分析中应用概率论的思想是非常美妙的构思,证明清晰明了。作者在文献[6 ] 中利用非齐次马氏链强大数定律构造了一类奇异单调函数, 而非借助于传统的Cantor 展式。尤其多项式逼近连续函数中也容易注意到近似多项式富有意义的构造。下面类似的方法可用来较易地构造一些熟悉的分析结果。
例2假设f(x)在闭区间?a，b?上连续，则存在一列多项式B1(x),B2(x),收敛于函数f(x)。
证明：不妨设a=0，b=1。可引入新的变量u：x=(b?a)u?a，使u?[0,1]，那么
由f(x)在[a，b]上连续可知f(x)在[0,1]上一致连续且有界。即对于任意?>0，存在?>0，只要x1?x2
,一致
?2，其中x1，x2?[0,1]，
此外，对于任意x?[0,1]，有f(x)?k（k为常数）。 设随机变量?1，?2??n服从二项分布，则可建立多项式： Bn(x)=Ef( =
1?) nnm?0?nmmmf()Cnx(1?x)n?m n其中x?[0,1]，参数n?1。显然Bn(0)= f(0)，Bn(1)= f(1)。由贝努力大数定律知：
limp?n????n??x????1，x?[0，1]。
??n由于
?nmmCnx(1?x)n?m=1，
m?011
故有：
Bn(x) —f(x)=
mmm[f()?f(x)]Cnx(1?x)n?m ?nm?0n??=
nf(m?0mmm)?f(x)Cnx(1?x)n?m nm?x??n?mmmf()?f(x)Cnx(1?x)n?m+nm?x??n?mmmf()?f(x)Cnx(1?x)n?m n<
?+2k2??n??mmn?m?x??=+2kPcx(1?x)??。 ?n2m??n?x??n?np?x，可见存在N，使当n>N时， 而对于任意x?[0,1]，n??n???x????P?，
4kn??从而，当n>N时，对于一切x?[0,1]，有：
Bn(x)?f(x)<
?2??4k?2k=
??+=? 22即Bn(x)关于x?[0,1]一致收敛于f(x)。
从上可以看出大数定律在极限、重积分、级数以及多项式逼近中都有重要应用，其实概率论学科和数学分析只见是相互渗透的，大数定律在数学理论中的应用也不仅仅这么狭窄，它在求很多高等数学的问题上也有很好的催化作用，大数定律在信息论中也有不俗的表现，比如在信息序列的渐近等分性质就是一个体现。下面主要看大数定律在实际生活中的精彩的表现，它涉及到很多与我们贴身的行业。
3、大数定律在保险业的应用 保险动机的产生
现代保险业已经是社会非常重要的一环，而大数定律就是这大厦最重要的基石之一，下面就看看大数定律是如何撑起这座保险业大厦的。
保险业是根据大数定律的法则，集中众多企业或者个人的风险，建立抵御风险的社会机制。但是保险业的产生不仅仅是为了避险，当然也有利润这只无形的手的驱使，有利润才能保证保险业真正的发展下去，壮大起来。同时大数定律不仅仅用于计算保险公
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司避险需要的客户数，也需要用来计算产生的利润的合理范围。为了抵御风险，保险公司需要大数目的客户，那么这些企业或者个人是如何愿意自己交出保险费投保的呢？其实这也是企业或者个人为了自己的利益着想，不但是避险，也是一种投资，这就是保险业能够产生发展的一个基础。
例如某企业有资金Z单位，而接受保险的事件具有风险，当风险发生时遭受的经济损失为Z1个单位，那么在理性预期的条件下，该企业只能投入的资金Z?Z1单位。假设企业投入资金与所得利润之间的函数关系为f?Z?，显然有
f?Z??f?Z?K?，
当K?Z1时为预期风险条件下利润损失额。当f?Z??f?Z?K??0时，企业就需要有避险的需求，且随差额的增大而增大。这就是企业的避险需求，也是保险业产生的基础。
具有同种类风险，且风险的发生相互独立的众多企业，当风险发生的时候，需要一定的经济补偿，以使损失最小或得以继续某项生产活动，在这里看来，风险的发生，在整体上看是必然的，但从局部看，是随机的，所以这种补偿在风险没有发生时是一种预期。
假设这种随机现象为Xi(i?1,2,....,n)，则Xi的概率分布为：
Xi取值 概率 0 Z1 1?P P 上表中，P为风险发生的概率，Z1为风险发生时企业的损失额。那么知道该事件的数学期望为E?Xi??Z1P。
根据切比雪夫大数定律，当Z1有限时，???0，
?1n?lim?P?Xi?Z1P????0. n???ni?1????0，上述式子可以表述为：n个具有某种同类风险，且风险的发生是相互独
立的，当风险发生时预计得到补偿的平均值与其各自的期望值之差，可以像事先约定的那样小，以致在企业生产过程中可以忽略不计。
定理6在n重伯努利实验中，事件A在每次试验中出言的概率为p，(0?p?1)，
?n为n此试验中出现A的次数，则
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t??n?np?x?1limP??x????e2dt。
????n??2??npq?2 定理7 设随机变量X1，X2，?,Xn?相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差E?Xk???,D?Xk???2?0?k?1,2,??。则随机变量
?n?X?EX???kk??k?1??Yn?k?1D(?Xk)k?1nn?Xk?1nk?n?
n?的分布函数Fn?X?对于任意x满足
?n?X?n?t2?k???x1??limFn(x)?limP?k?1?x???e2dt.
??n??n??n?2π??????根据上述中心极限定理，由事先约定的??0，则
?????1n?n1?????? ???P?Xi?Z1P????2??????ni?1??P(1?p)???这样，由事先给定的?、?、P确定出参加某种风险保障的企业最小数目n. 例如：当?=0.01、P=0.0012，则当约定?=0.001时，一定有n?130,也就是说当n?130时，上述的结果成立。
依据上述结果，从两个方面来看，
从微观上看，因为0?P?1,则Z1?PZ1，由前面说的企业是看利润递增的原则，显然有f?Z?Z1??f?Z?PZ1?。此时企业产生参加社会保险的动机，也就是企业参加社会保险比自保更有利。
从宏观上看，如果有n个具有同类风险的企业存在且都实行自保，显然在理性预期的条件下，为抵御风险而失去的利润总额为
D1???fi?Z??fi?Z?Z1??。
i?1n其中fi?Z?表示第i个企业的利润函数（i=1,2,…..n）.
而这n企业全部参加社会保险后，为了抵御风险而失去的利润总额为
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D2???fi?Z??fi?Z?PZ1??。
i?1n概率论基础结课论文则由于参加社会保险而产生的社会总效益为：
Dn?D1?D2???fi?Z?PZ1??fi?Z?Z1??
i?1n由于 f?Z?Z1??f?Z?PZ1?，i=1,2,……n. 所以此效益随着n的增大而增大。
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综上所述，企业参加社会保险的动机便是在于参加社保比自保更加的有利，利润的驱使，这也是企业参加保险的重要动机，因此保险业这个行业以存在和发展，也发展了众多的保险公司。
保险公司同样也需要评估是否可保的问题，上面的叙述可以得知，可保的条件有： 1、风险事故造成的损失应当是可以估计的。
2、有大量独立的同质风险单位存在，即是各风险单位遭遇风险事故造成损失的概率和损失规模大致相近，同时各风险单位要相互独立，相互的发生不会产生影响。这些都是大数定律的基本要求。
大数定律是保险业经营的一个重要数理基础，大数定律的原作，可以将个别风险单位遭遇损失的不确定性，转化为风险单位集合的损失的确定性。由于与损失金额的预测具有相关性，大数定律的运用直接关系到补偿或给付的实现程度与保险经营的稳定性。下面分成几个方面来阐述大数定律在保险业中的一些应用。 1、制定保费 以切比雪夫大数定律为例，该极限定理运用到保险行业，相当于有n个投保人或被保险人，同时投保了n个相互独立的保险标的，用?i表示每个标的实际发生损失的大1n小。其中，E??i?为理论上每个投保人应缴纳的纯保费，??i为平均每个被保险人ni?1实际获得的赔款金额。当投保人数足够多，即n??时，实际赔款金额等于理论上的纯保费。这一定律说明在承保标的数量足够大时，保险人收取的纯保费应与被保险人所能获得赔款金额的期望值相等。
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