第十二章 动量矩定理
动量是描述质点系随质心平动的一个动力学量，它不能描述质点系相对于质心转动的动力学状态。相应地，动量定理也不能描述质点系相对于质心或某一固定点的运动规律。
本章引进动量矩的概念，并研究描述质点系相对于某一定点（或定轴）或质心的运动状态与外力矩之间的关系——动量矩定理。
■主要内容：
▼刚体对轴的转动惯量 ▼质点和质点系的动量矩 ▼动量矩定理
▼刚体定轴转动微分方程
▼质点系相对于质心的动量矩定理 ▼刚体平面运动微分方程 ■重点内容：
动量矩定理的应用及刚体平面运动的运动微分方程
§12-1 刚体对轴的转动惯量
一、定义
2
zii
——刚体内各质点的质量与质点到轴的垂直距离平方的乘积之和。
■若刚体的质量是连续分布，则 Jz??r2dmm
■转动惯量恒为正值
J??mr■单位：kg?m ■量纲:
2?I???M??L?2刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，它的大小体现了刚体转动状态改变的难易程度。
二、转动惯量的计算
■积分法（具有简单几何形状的均质刚体转动惯量的计算） ▼均质细直杆对z轴的转动惯量
设杆长为l，单位长度的的质量为?，取一微元段dx，其质量为dm??dx，此杆对
z转动惯量
Jz???x2dx?0l12ml 3
▼均质细圆环对中心轴的转动惯量
均质细圆环半径为R，质量为m。将圆环沿圆周分成许多微元段，每段质量为mi，到中心轴的距离均为R。则圆环对中心轴转动惯量
Jz??miR2?mR2
▼均质薄圆板对中心轴的转动惯量
设均质薄圆板半径为R，质量为m，单位面积质量为?。将
圆板分成许多同心细圆环，圆环半径为r，宽度为dr，则细圆环的。
质量为dm?2?rdr??。圆板对中心轴z的转动惯量为
Jz??2?r3?dr??1mR2
02■惯性半径（回转半径）
R比较以上简单物体转动惯量表达式知，均质刚体转动惯量与质量的比值(Jzm)仅与刚体的几何形状和尺寸有关，几何形状相同而材料不同的刚体，上述比值相同。令
?z?Jzm
并称为刚体对z轴的惯性半径（又称回转半径）。
对不同材料的刚体，若已知?z，则对z轴的转动惯量可按下式计算
JZ?m?z2
该式说明，若把刚体的质量全部集中于一点，并令该质点对于z轴的转动惯量等于刚体的转动惯量，则质点到z轴的垂直距离就是刚体对于z轴的惯性半径。
为方便使用，将部分简单几何形状的物体的转动惯量及惯性半径列于下表。
简单几何形状物体的转动惯量
物体 简图 转动惯量 惯性半径 体积 细直杆 JzC?m2ml，Jz?l2 123?zC?0.298l?z?0.578l 薄壁圆筒 Jz?mR2 ?z?R 2?Rlh 圆柱 1mR2 2mJx?Jy?(3R2?l2)12Jz? ?z?0.707R ?x??y ?(3R2?l2)12 ?R2l 空心圆柱 mJz?(R2?r2) 2?z??(R?r)222 ?l(R2?r2) 实心球 Jz? 2mR2 5?z?0.632R 4?R3 3圆环 Jz?m(R2? 32r) 4?z?R2?r234 2?2r2R 矩形簿板 m22(a?b)12 m2m2Jy?a,Jx?b1212Jz??z?122(a?b)12 ?y?0.289a?x?0.289babh 在工程技术中，一些形状已经标准化的零件，其转动惯量和回转半径可从有关手册中查阅。
■平行轴定理
刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴之间距离平方的乘积，即
Jz?JzC?md2
该定理的证明请参阅一般的理论力学教材。由该定理知，在所有相互平行的各轴中，刚体对过质心的轴的转动惯量最小。
■组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量， 然后再加起来
例1：钟摆简化如图所示。已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1和m2，杆长为l，圆盘直径为
d。求摆对过悬挂点O的水平轴的转动惯量。
解：记均质细杆、圆盘对过悬挂摆点O的水平轴的转动惯
量分别为JOl、JOC，则摆对过悬挂点O的水平轴的转动惯量
JO?JOl?JOC
式中JOl?11dm1l2。记JC?m2()2为圆盘对中心轴转动惯量， 322由平行轴定理
JOC?JC?m2(l?d2)2
3?m2(d2?l2?ld)
8则
JO?13m1l2?m2(d2?l2?ld) 38对于几何形状复杂的物体，工程中常用悬挂的方法，通过对微小摆动周期的测定，计
算物体对过悬挂点轴的转动惯量。
■实验方法
常用的方法：扭转振动法；复摆法；落体观测法等。下面以复摆法为例加以说明。将复摆悬挂，测定其微小摆动的周期T。则复摆对悬挂点的转动惯量为
2 O2
TJ?mgs?4?
§12-2 质点和质点系的动量矩
一、质点的动量矩 1、对点O的动量矩
????MO(mv)?r?mv■瞬时矢量
??■方向：垂直于矢径r与动量mv所形成的平面 ■指向：按右手法则确定 ■大小：
??MO(mv)?mv?rsin??2?QAO■单位： kg?m2/s■量纲: ?m(mv)???M??L?2?T??1O
2、对轴的动量矩
以矩心O为坐标原点，建立直角坐标系Oxyz，由矢量积定义
??????MO(mv)?r?mv?xmvx
?i?jymvy?kzmvz?????MO(mv)?(ymvz?zmvy)i?(zmvx?xmvz)j?(xmvy?ymvx)k?????MO?mv??Mx?mv?i?My?mv?j?Mz?mv?k?Mx?mv??ymvz?zmvy???My?mv??zmvx?xmvz??Mz?mv??xmvy?ymvx??质点的动量对固定点的动量矩在通过该点的任一固定轴上的投影等于质点的动量对该
固定轴的动量矩
二、质点系的动量矩 1、对点O的动量矩