二、转动微分方程
?(e)dLz??Mz(F)dt????Mz(F)Jz??Jz???Mz(F)?????Mz(F)Jz?即：刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，
等于作用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和。
——刚体定轴转动微分方程
三、求解动力学的两类基本问题 ■已知刚体的转动规律，求作用于刚体的主动力；轴承处的约束反力由刚体绕定轴的转动微分方程无法求出，需用质心运动定理求解。
■已知作用于刚体的主动力，求刚体的转动规律。
例3：已知刚体的质量为m，质心到转轴O的距离OC=a，刚体绕水平轴O作微幅摆动的周期为T，求刚体相对于转轴的转动惯量。
解：建立刚体的转动微分方程式，以摆的平衡位置作为?角的起点，逆时针方向为正，即 d2?JO2??mgasin?
dt
作微幅摆动时
sin???
微分方程的通解为
d2?ma?g??02IOdt?mga?????0sin?t???J?O??其中?o及?由运动的初始条件确定，而振动的周期为
T?2πJOmga1JO?2mgaT24π§12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
一、质点系的动量矩
????? LO??MO(mivi)??(ri?mivi)
????rC?mvC?LC ????LC??(ri?mivi)
二、质点系相对于质心的动量矩定理
??(e)??(e)dLC???ri??Fi??MC(F)dt即：质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。
——质点系相对于质心的动量矩定理
■质点系对于质心的动量矩定理在形式上与对于定点的动量矩定理完全一致。
■即使质心有加速度时，质点系对于质心的动量矩定理也是成立的，即适用于非惯性系。 ■当外力系相对质心的主矩为零时，质点系对于质心的动量矩守恒。即
■如将质点系的运动分解为跟随质心的平移和相对质心的转动，则可分别用质心运动定理和相对质心动量矩定理来建立这两种运动与外力系的关系。
■质点系相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有关，而与内力无关。 ■相对质心的动量矩定理应用的关键问题是计算 可由定义式计算：
Ciii
也可由下式计算：
'
Ciiir
故计算质点系相对质心的动量矩时，可用相对惯性系的绝对速度，也可用相对固连于质心的平移坐标系的相对速度
?L?????r?mv???L??r?mv§13–6 刚体的平面运动微分方程
一、运动分解（选质心C为基点） ■随质心C的平移xC,yC ■绕质心C的转动?
二、平面运动微分方程
■随质心C的平移——质心运动定理
?(e)?maC??F■绕质心C的转动——相对于质心的动量矩定理
?(e)d
(JC?)??MC(F) dt（过质心C且垂直S的轴） ■刚体的平面运动微分方程
?(e) ??JC???MC(F) ???(e)? ?maC??F
或： ?(e)?????mrC??F
?(e)? ????MC(F)??JC?
投影式： (e)?maCx?m??x?X?C
???C??Y(e)y ?maCy?m??(e)? ????JC??JC???MC(F
例4：半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线纯滚动。设轮的回转半径为?，作用于圆轮上的力偶矩M，圆轮与地面间的静摩擦因数为f。
求：(1)轮心的加速度； (2)地面对圆轮的约束力；
(3)轮作纯滚动时力偶矩M必须满足的条件。 解：取圆轮为研究对象，圆轮作平面运动 受力分析：如图所示
运动分析：设轮心加速度为aC
圆轮的角加速度为?
?
列出圆轮的平面运动微分方程：
因圆轮作水平直线运动，故有
?maCx?F??maCy?FN?mg?2?m???M?FraCy?0,aCx?aC圆轮作纯滚动（只滚不滑）时，有：
aC?r
?
Mr?a??Cm(?2?r2)???FN?mg?Mr?F?2?(??r2)?轮作纯滚动的条件：
F?Fmax?fFNM?fmg??2?r2r例5：均质细杆AB，长l，重P，两端分别沿铅垂墙和水平面滑动，不计摩擦。若杆在铅垂位置受干扰后，由静止状态沿铅垂面滑下。
求：杆在任意位置时的角加速度。 解：取杆为研究对象，杆作平面运动 受力分析：如图所示
运动分析：质心C的坐标为
l? x?sin?C??2 ??y?lcos? C?2?
经求导：
l?2l??? ??x???sin???cos?C??22 ?l?2l???? ?C???ycos???sin??22?
列出杆的平面运动微分方程： Pl?2l??(e)??mx??X,?(??sin???cos?)?FC
g22
Pl?2l?? ?C??Y(e),m?y?(??cos???sin?)?FB?mgg22
?(e) 1P2??ll??J??M(F),l???F?sin??F?cos??CBAC 12g22
解得任意瞬时的角加速度为：
思考：若欲求杆在任意瞬时的角速度，则如何求？
3g??????sin?2l本章作业:
第1次：12-1；12-2(a)(b)；12-3 第2次：12-6；12-9；12-12 第3次：12-14；12-17；12-20