质点系各质点对同一点O的动量矩的矢量和，或称质点系动量对O点的主矩。
????? LO??MO(mivi)??(ri?mivi)
?????rC??mivi??(ri??mivi????rC?mvC?LC 2、对轴的动量矩
质点系各质点对同一轴的动量矩的代数和。 ?LZ??Mz(mivi)
质点系对某固定点O的动量矩在通过该点的轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩 Ozz
?[L]?L三、刚体的动量矩
1、平移刚体
将全部质量集中于质心作为一个质点计算
?????LO?rC?MvC?MO(MvC)2、定轴转动刚体
?Lz?Mz(MvC)???Lz??Mz(mivi)??mivi?ri??miri2??Jz?
（式中Jz为刚体对转轴的转动惯量） 3、平面运动刚体
???? LO?rC?MvC?LC
z轴垂直于刚体运动平面Jc为刚体对质心轴的转动惯量
?Lz?Mz(MvC)?JC?
例2：滑轮A：m1，R1，J1；滑轮B：m2，R2( R1=2R2)，J2；物体C：m3，v3；求：系统对O轴的动量矩。
解：系统动量矩：（逆时针为正）
AC
LO?LO?LB?LOO
?J1?1?(m2v2R2?J2?2)?m3v3R3
?v3?v2??2R2
v3??2?R2vAvB?2?2R22v3?1????R1R1R1R12LO?[J1?J2?(m2?m3)R2]?v3R2
§12-3 动量矩定理
一、质点的动量矩定理 1、对于定点的动量矩定理
???? MO(mv)?r?mv
两边对时间求导，得
??d?d?MO(mv)?(r?mv)dtdt
?? ?????v?mv?r?F?0?MO(F)
???d? MO(mv)?MO(F)dt
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。
——质点对定点的动量矩定理
2、投影式——质点对于定轴的动量矩定理
??dMx(mv)?Mx(F)dt??dMy(mv)?My(F)dt??dMz(mv)?Mz(F)dt3、守恒式
??MO(F)?0??MO(mv)?恒矢量 恒量
?Mz(F)?0?Mz(mv)?即：若作用于质点的力对于某定点（或定轴）的矩恒等于零，则质点对该点（或该轴）的动量矩保持不变，或称动量矩守恒。
——质点动量矩守恒定律
二、质点系的动量矩定理 1、对于定点的动量矩定理
(e)OO
即：质点系对于某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的主矩。
——质点系对定点的动量矩定理 ■投影式
?(e)d?
?dtLx??Mx(F) ??(e)d? ?Ly??My(F) ?dt?(e)?d L?M(F)?dtz?z?
即：质点系对于某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。
——质点系对定点动量矩定理的投影式 ■注意问题
??d?L??M(F)dt▼动量矩定理中的点或轴应为惯性参考系中的固定点或固定轴；而对一般动点和动系其动量矩定理的形式比较复杂。
▼所有运动量（如速度、角速度等）均为相对于惯性参考系的绝对量；
▼质点系动量矩的变化仅取决于外力系的主矩，而内力不能改变质点系的动量矩； ▼在计算动量矩和外力矩时，符号规定应一致；
■守恒式
??(e)?MO(F)?0
??LOLz?恒矢量 恒量
?(e)?Mz(F)?0
即：若外力系对于某定点（或定轴）的矩的矢量和（或矩的代数和）恒等于零，则质点系对该点（或该轴）的动量矩保持不变，或称动量矩守恒。
——质点系动量矩守恒定律
例2：如图所示，半径为R，质量为m的均质圆轮绕定轴O转动，转动惯量为JO，两个质量分别为mA和mB的物块系在跨过圆轮的绳子两端，其中物块B因水平绳子的牵引在光滑水平面上运动。若不计绳子的质量和轴承O的摩擦，并设绳子与圆轮之间无相对滑动，试求圆轮的角加速度。
解：（1）取整个系统为研究对象
（2）受力分析如图
（设以逆时针转向为正）
?(e)?MO(F)?mAgR?（3）运动分析，计算LO（设以逆时针转向为正）
LO?mAvR?mBvR?JO??(mA?mB)vR?JO?（4）由质点系对定轴O的动量矩定理，有
??d?LO??MO(F(e))dtd[(mA?mB)vR?JO?]?mAgRdt由运动学关系：
v??R解得：
?????mAgR(mA?mB)R2?JO■解题步骤
▼选取研究对象；
▼分析质点系所受的外力（画受力图），计算外力矩； ▼分析质点系的运动，计算动量矩；
▼应用质点系动量矩定理建立方程，求解未知量。
§12-4 刚体定轴转动微分方程
一、动量矩
Lz?Jz?其中Jz为刚体对z轴的转动惯量