高等数学，课后习题答案，第七章，高分必备
习题七
1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：
A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).
解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；
点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.
2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0;
在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0.
3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0;
y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0.
4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1）s?(2) (3)
22?32?42?29 s?22?(?3)2?(?4)2?29 s?(1?2)2?(0?3)2?(3?4)2?67 s?(?2?4)2?(1?2)2?(3?3)2?35(4) . 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故
2s0?42?(?32)?5?5 2sx?(4?4)2?(?3?0)2?(5?0)2?34 sy?42?(?3?3)2?52?41 sz?42?(?3)2?(5?5)2?5.
6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则
(?4)2?12?(7?z)2?32?52?(?2?z)2
14z?9 解得
14即所求点为M（0，0，9）.
7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形.
8. 验证：(a?b)?c?a?(b?c). 证明：利用三角形法则得证.见图7-1
图7-1
9. 设u解：
?a?b?2c, v??a?3b?c.试用a, b, c表示2u?3v.
2u?3v?2(a?b?2c)?3(?a?3b?c)?2a?2b?4c?3a?9b?3c?5a?11b?7c
10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试以
AB?c，
BC?a表示向量D1A,D2A,D3A和D4A.
1D1A?BA?BD1??c?a5 解：
2D2A?BA?BD2??c?a5 3D3A?BA?BD3??c?a5 4D4A?BA?BD4??c?a.5
11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.
解：设M的投影为M?，则
PrjuOM?OMcos60??4?12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.
解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，则
解得x=-2, y=3, z=0
故A的坐标为A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求： （1） （3）
1?2.2
AB?{4,?4,7}?{2?x,?1?y,7?z}
PP12在各坐标轴上的投影； （2） PP12的模；
PP12的方向余弦； （4） PP12方向的单位向量.
?PrjxPP12?3, ay?PrjyPP12?1,
解：（1）ax (2)
az?PrjzPP12??2. PP(7?4)2?(1?0)2?(3?5)2?1412?cos??(3)
axPP12?314
cos??
ayPP12azPP12??114?214 cos??
.
e0?PP12PP?{12(4) .
14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方向余弦. 解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
31?2312,,}?i?j?k141414141414|R|?22?12?42?21 214cos??, cos??, cos??.212121
15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量ea,eb,ec来表达向量a, b, c.
222|a|?1?1?1?3 解：
|b|?22?(?3)2?52?38 |c|?(?2)2?(?1)2?22?3
16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量. 解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k 在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.
17. 向量r与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量er. 解：因?a?3ea, b?38eb, c?3ec.
????,故3cos2??1 ,
cos??33 , cos???33（舍去）
则
er?{cos?,cos?,cos?}?{3333,,}?(i?j?k)3333.
18. 已知两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M在线段M1M2上，且M1M的坐标.
解：设向径OM={x, y, z}
?3MM2，求向径OMM1M?{x?2,y?5,z?3}MM2?{3?x,?2?y,5?z}
因为，M1M?3MM2
11?x??4x?2?3(3?x)??1??y?5?3(?2?y) ? y????4?z?3?3(5?z)???z?3??所以，
111,?,3OM44}. 故={
236,,OP77719. 已知点P到点A（0，0，12）的距离是7，的方向余弦是
解：设P的坐标为（x, y, z）,
，求点P的坐标.
|PA|2?x2?y2?(z?12)2?49
222x?y?z??95?24z 得
cos??又
6570? ? z1?6, z2?49x2?y2?z27
x2190cos??? ? x1?2, x2?49x2?y2?z27yz
3285? ? y1?3, y2?49x2?y2?z27
190285570,,故点P的坐标为P（2，3，6）或P（494949）.
2π??3，且a?3,b?4，计算： 20. 已知a, b的夹角cos??(1) a·b; (2) (3a-2b)·(a + 2b).
2π1?3?4???3?4??632解：（1）a·b =
(2) (3a?2b)?(a?2b)?3a?a?6a?b?2b?a?4b?b
cos??|a|?|b|?cos?3|a|2?4a?b?4|b|2?3?32?4?(?6)?4?16 ??61.21. 已知a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算：
2|a?b|（1）a·b; (2) (2a-3b)·(a + b)； （3）
解：（1）a?b?4?6?(?2)?(?3)?4?2?38 (2)
(2a?3b)?(a?b)?2a?a?2a?b?3a?b?3b?b
?2|a|2?a?b?3|b|2?2?[42?(?2)2?42]?38?3[62?(?3)2?22]?2?36?38?3?49??113
222(3) |a?b|?(a?b)?(a?b)?a?a?2a?b?b?b?|a|?2a?b?|b|
?36?2?38?49?9
22. 已知四点A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量投影. 解：
AB在向量CD上的
AB={3，-2，-6}，CD={6，2，3}
PrjCDAB?AB?CDCD?3?6?(?2)?2?(?6)?362?22?3223. 设重量为100kg的物体从点M1(3, 1, 8)沿直线移动到点M2（1，4，2），计算重力所作的功（长度单位为m）.
解：取重力方向为z轴负方向， 依题意有
f ={0,0, -100×9.8}
s = M1M2={-2, 3,-6}
故W = f·s={0, 0,-980}·{-2, 3,-6}=5880 (J)
24. 若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角. 解: (a+3b)·(7a-5b) =7|a|(a-4b)·(7a-2b) =
24??.7
?16a?b?15|b|2?0 ①
7|a|2?30a?b?8|b|2?0 ②
a?ba?b1(a?b)21????2|b|22|a|2|b|24 由①及②可得：|a|a?b11cos???|b|2?0|a||b|2, 2又，所以
1π??arccos?23. 故a?b?25. 一动点与M0(1,1,1)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程.
解：设动点为M(x, y, z)
M0M?{x?1,y?1,z?1}
因M0M?n,故M0M?n?0. 即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0
整理得：2x+3y-4z-1=0即为动点M的轨迹方程.
26. 设a=(-2,7,6),b=(4, -3, -8),证明：以a与b为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直. 证明：以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,a－b,且 a+b={2,4, -2} a-b={-6,10,14}
又(a+b)·(a-b)= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0 故(a+b)?(a-b).
27. 已知a =3i+2j-k, b =i-j+2k,求： (1) a×b; (2) 2a×7b; (3) 7b×2a; (4) a×a.
解：（1） (2) (3) (4)
2?1?1332a?b?i?j?k?3i?7j?5k?12211?1
2a?7b?14(a?b)?42i?98j?70k
7b?2a?14(b?a)??14(a?b)??42i?98j?70k
a?a?0.
28. 已知向量a和b互相垂直，且|a|?3, |b|?4.计算：
(1) |(a＋b)×(a－b)|； (2) |(3a＋b)×(a－2b)|.
（1）|(a?b)?(a?b)?|a?a?a?b?b?a?b?b|?|?2(a?b)|
π?242
(2) |(3a?b)?(a?2b)|?|3a?a?6a?b?b?a?2b?b|?|7(b?a)|
?2|a|?|b|?sin?7?3?4?sin29. 求垂直于向量3i-4j-k和2i-j +k的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦.
π?842
a?b?解：
?4?1?133?4i?j?k??5i?5j?5k?11122?1
e?a?b3??(?i?j?k)|a?b|3
与a?b平行的单位向量
sin??.
30. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b=(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦. 解：两对角线向量为
|a?b|53513??|a|?|b|2626?6