44、（2018年高考北京卷 文科）20．（14分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率
为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；
（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c=2b2=a2﹣c2=1，
，则c=
，椭圆的离心率e==
，则a=
，
∴椭圆的标准方程：；
（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立得：m2＜4，
，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3=0，△=（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理
x1+x2=﹣，x1x2=，
∴|AB|==
；
，
∴当m=0时，|AB|取最大值，最大值为
（Ⅲ）设直线PA的斜率kPA=，直线PA的方程为：y=（x+2），
联立=0，
，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12﹣12x1﹣12）
由
代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）=0，
x1?xC=﹣，xC=﹣，则yC=（﹣+2）=，
则C（﹣，），同理可得：D（﹣，），
由Q（﹣，），则=（，），=（，），
由与三点共线，则×=×，
整理得：x1﹣x1=y1﹣y1，则直线AB的斜率k=∴k的值为1．
=1，