711?p?166 1212∴p取84、85、??、166共83项。
由1000≤cn≤2000解得：83三、本课小结
根据数列的定义和前面所学的函数关系，由学生自己通过联想、类比、对比、归纳的方法迁移到新情境中，将新的知识内化到学生原有的认知结构中去。 四、作业
1.一梯形两底边长分别为12cm22cm，将梯形一腰10等分，经过每分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度和.
2.某化工厂生产一种溶液，按市场的要求杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质
10.2%，每过滤一次可使杂质减少，问至少过滤多少次才能使产品达到市场的要求
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第8课时 不等式性质应用趣题―
“两边夹不等式”的推广及趣例
教学目标：理解“两边夹不等式”的推广及应用
教学过程：
一、情境引入
大家都熟知等比定理：若等式，如
acaa?cc?，则??。若将条件中的等式改为不bdbb?ddac?，那么结论如何呢?课本上有这样一道练习：已知a,b,c,d都是正数，bdaa?cc且bc?ad，则??(高中数学第二册(上)(人教版))，在平时的教学过程中，
bb?dd稍不注意，其丰富的内涵和研究价值便被忽略了。下面为了说明问题的方便，称不等aa?cc式? 当然这个不等式的证明是简单的，而探讨这个?为两边夹不等式。bb?dd不等式却别有一番风味．对该不等式的探讨是从它的一个简单应用开始的． 二、“两边夹不等式”理解推广 1、两边夹不等式的两种理解 解：（1）实际意义的理解：有同种溶液(如糖水)A、B，已知溶
a液A的浓度为，溶液B的
bc浓度，现将两种溶液混合成
d
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a?caa?cc，由日常生活经验知道有??。 b?dbb?dd?（2）几何意义的理解：由分式联想到直 线的斜率，设OA?(b,a)，
溶液C，此时溶液浓度为
???acOB?(d,c)则直线OA、OB斜率分别是，(如图1)，则OA?OB?(b?d,a?c)，
bd?aa?cc它表示图中的OC,显然直线OC的斜率介于OA、OB的斜率之间，即? ?。
bb?dd???进一步探讨我们还可以得到更多的结论，如OD?OA?2OB?(b?2d,a?2c)得
aa?2cc??，仿此还可到几个不等式链： bb?2ddaa?ca?2ca?3ca?nc（1）?????????????bb?db?2db?3db?ndaa?c2a?c3a?cna?c（2）?????????????bb?d2b?d3b?dnb?dama?ncc（3）??????（其中m,n?N?）
bmb?ndd2．两边夹不等式的一个简单应用
到不等式
c dc d练习1、 利用此不等式，可以轻松地证明下面这个经典不等式：已知a,b,m都
aa?m。 ?bb?mam分析：?a?b，??1?，由
bm3．两个有意义的推广
是正数，且a?b，求证：
aa?m． ?bb?maa1a2????n，b1b2bn推论1(等比定理的推广)：已知ai,bi?R?(i?1,2,3,?，n)，若
a则1?b1?a?bi?1i?1nni?ian。 bn利用两边夹不等式可以容易得到证明，这里从略。
由于分数的分子分母同乘以一个非零实数，分数的值不变，那么将分母各乘以非零实数?1，?2又有什么结论呢?
推论2(一般性推广)：若正数a,b,c,d及非零实数?1，?2满足
a?1a??2cc?? b?1b??2ddac与的分子bdac?，则bd 17
证明：?a?1ac?2cac?,?，? b?1bd?2dbda?1a??2cc?? b?1b??2dd?由两边夹不等式立即得
练习2、无限夹数游戏
(1)给你任意两个正分数，你能写出大小介于它们之间的一些数吗?
221111如与，与，与等。 323552依据两边夹不等式可以得到 211介于与之间，
325321介于与之间，
358321介于与之间。 752三、本节小结：本节主要讲了两边夹不等式几何意义理解及两种推广 。 四、作业：探求“黄金分割数”
在0、l之间用两边夹不等式可以依次写出一些数，写这些数时按以下的规
111律进行：第一个数为a1?，此时得到两个区间A1=（0，），B1=(,1)在区间B1
2222内利用两边夹不等式得到第二个数a2=；此时a2又将区间B1分成两个区间
32312A2=(，),B2=(,1)在区间A2中利用两边夹不等式得到第三个数a=，依此类推，
3523可以得到数列{an}，数列{an}的极限称为黄金分割数，求此极限。(liman?n???5?1) 2
第9课时 不等式性质应用趣题―
均值不等式的应用
教学目标：了解均值不等式在日常生活中的应用
教学过程： 一、情境引入；
日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中
起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。 在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸
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等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题） 实践活动 已知条件 最优方案 解决办法
设计花坛绿地 周长或斜边 面积最大 极值定理一
经营成本 各项费用单价及销售量 成本最低 函数、极值定理二 车船票价设计 航行里程、限载人数、 票价最低 用极值定理二求出 速度、各项费用及相应 最低成本，再由此 比例关系 计算出最低票价
（票价=最低票价+ +平均利润） 例1、包装罐设计问题 1、“白猫”洗衣粉桶
“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示）， 若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是 什么关系时用料最省（即表面积最小）？ 分析：容积一定=>лr h=V（定值）
=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)
≥2л3 (r h) /4 =3 2лV (当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号), ∴应设计为h=d的等边圆柱体. 例2、“易拉罐”问题
圆柱体上下第半径为R,高为h，若体积为定值V,且上下底 厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最 省（即表面积最小）？
分析：应用均值定理，同理可得h=2d（计算过程请读者自己 写出,本文从略）∴应设计为h=2d的圆柱体.
第10课时 立体几何趣题—— 正多面体拼接构成新多面体面数问题
教学目标： 训练学生空间想象能力，动手动脑能力，提高学习数学兴趣
教学过程： 一、问题提出
在《数学(高二下册)》“立体几何多面体”一节的课堂教学中，老师给出了一道例题：“已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都相等，把它们拼接起采，使一个表面重合，所得的新多面体有多少个面?”对于这个问题学生们表现出了极大的兴趣．他们通过直观感知，提出了自己的看法：正四面体和正八面体共12个面，两者各有一个面重叠，因此减少两个面，所以重合之后的新多面体有10个面． 二、故事介绍
教师乘着学生浓厚的兴趣讲了一个与这道例题有关的故事．多年前美国的一次数学竞赛中有这样一道题：一个正三棱锥和一个正四棱锥，所有棱长都相等，问重合一个面后还有几个面?大学教授给这道竞赛题的参考答案是7个面，他们认为正三棱锥和正四棱锥共9个面，两者各有 一个面重叠，减少两个面，所以重合之后还有7个面。但佛罗里达州的一名参赛学生丹尼尔的答案是5个面，与参考答案不合而被判
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错误，对此丹尼尔一直有所疑惑，于是他动手拼接了符合题意的正三棱锥和正四棱锥实物模型，结果正如他所判断的只有5个面；他将自己的结论和实物模型提交给竞赛组委会，教授们接受了他的想法并改正了这道题的答案。 三、操作确认
故事讲完后学生立刻对丹尼尔的结论进行了激烈地讨论．于是教师建议：请同学们拿出课前分组做出上述两个问题的实物模型，通过自己的操作(模型组合)来确认自己的结论．学生展示大小不一的实物模型．教师让每个组的学生代表在讲台上演示实物模型的组合过程．通过观察、讨论，全班同学明白丹尼尔结论的原因所在．同时也观察到了正四面体和正八面体重合之后新多面体只有七个面，这与学生们在上一节课通过直观感知所得的结论是不一致的。原因在于他们发现在重合过程中正四面体和正八面体另有两个侧面分别拼接成一个面了． 四、思辩论证
老师要求学生利用立体几何的相关知识，对操作实物模型得出的结论进行证明。学生对照实物模型提出了证明思路：将正八面体和正四面体拼接的两个侧面想象成两个半平面拼接成一个平面即表示这两个半平面所构成的二面角为180?．证明如下：如图1，在正八面体AC中，连结AC交平面BE于点O．设正八面体的棱长为1，BF的中点为D，连结AD、CD，易得∠ADC为二面角A―BF―C的平面角。AD=DC=
313??2,由余,AC=2AO=24421弦定理得COS?ADC??。
31仿上可求得正四面体邻棱所成的二面角?的余弦值为。
3由上可知???ADC?180?，因此新多面体是七面体。
五、问题扩展
理论证明的给出进一步完善了学生对问题的全面理解，同时也激发了学生的多向思维．证明结结束后，立刻就有学生向老师提出了问题： 如果再拼一个同样的正四面体，又有多少个，又有多少个面呢？面对学生的问题，教师立刻利用学生的实物模型进行操作确认，从而发现新多面体的面数并不确定，而是依赖于拼接四面体在八面体上的位置．进一步，当拼接更多的四面体时问题更复杂了，但却激发了学生更大的兴趣．在激烈地争论中，师生的思考一度陷入僵局．余是老师提出能否看看不同情况下新多面体可能新多面体最少面数．这一问题得到了学生的认可，新一轮实物模型的操作确认开始，很快学生得出了结论：当两个正四面体时，新多面体最少为6个面，构成一个六面体(如图2)．
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