解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为Q1，
Q2，
则
Q1?4?10?3?T1?T28?T1?T22 000， ???2分
Q2?4?10??3T1?T?14?2?.5?4T??T?21?01?x???T?3T4?1024 2 ???6分
?T1?T?14?34?10?T?1?T?x?2.5?102?T??T24?4?102
324 ?T1?T??T?1?T??T??T1224x4???3?4?4?102.5?104?10
3
?T1?T24 000x?2 000． ???9分
Q2Q1?1， 2x?1 （2）由（1）知 当
1?2x?14%时，解得x?12（mm）．
答：当x?12mm时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． ???14分
2yx18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1， 0)，离心
ab2第6页
率为2．
2分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE?EF． （1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．
（1）解：由题意，得c?1，e?c?a22OCy AE F D x ，故a?2，
B 从而b2?a2?c2?1，
所以椭圆的方程为x?y2?1．
2
（2）证明：设直线AB的方程为y?kx，
直
线
CD2①
（第18题）
???5分
② 方
程
为
y?(?k的，x?③ ???7分 由①②得，点A，B的横坐标为? 由
2k?222k?12，
D
①③得，点
C，的横坐标为
2(k?1)222k?1， ???9分
记A(x1， kx1)，B(x2， kx2)，C(x3， k(1?x3))，D(x4， k(1?x4))， 则直线AC，BD的斜率之和为
kx1?k(1?x3)x1?x3?kx2?k(1?x4)x2?x4(x1?x3)(x2?
x4?1) ?k?
?k?2(x1x2?(x1?x3?1)(x2?x4)?(x1?x3)(x2?x4)
x3x4)?(x1?(x1?x3)(x2?x2)?(x3?x4) 4 ???13分
x)第7页
2k?1?)?2?2(4k2???0??2222k?12k?1?2k?1? ?k?
(x1?x3)(x2?x)42
?0．
???16分
19．已知数列?an?是首项为1，公差为d的等差数列，数列?bn?是首项为1，公比为q(q?1)的等比
数列．
（1）若a5?b5，q?3，求数列?an?bn?的前n项和；
（2）若存在正整数k(k≥2)，使得ak?bk．试比较an与bn的大小，并说明理由． 解：（1）依题意，a5?b5?b1q5?1?1?34?81， 故d? 所
an?1a5?a15?1?81?1?20， 4以
， ???3?分 n 令Sn?1?1?21?3?41?32?????(20n?19)?3n?1， ① 则3Sn? 1?3?21?32?????(20n?39)?3n?1?(20n?19)?3n， ② ①?②得，?2Sn?1+20??3?32?????3n?1??(20n?19)?3n，
0 ?1+2?3(1?n?131?3?)(n2?0?19 )n3n ?(29?2n0?)3?，2
所
Sn?(n?2n以
． ???7分
2? （2）因为ak?bk，
第8页
所以1?(k?1)d?q 故an?1?(n?1) 又
bn?qn?1k?1，即d?，
qk?1?1k?1，
qk?1?1k?1， ???9分
所以bn?1n?an?q??1?(n?1)qk?1?1???k?1? ? ?1nk?1??(k?1)?q?1?1??(n?1)?qk?1?1???
?q?1?(k?1?)qn?2k?1??qn?3??????q?1??(n?1)kq??2kq??3??????q?? 1 ???11分
（ⅰ）当1?n?k时，由q?1知
bn?an?q?1k?1??(k?n)?qn?2?qn?3?????q?1??(n?1)?qk?2?qk?3?????qn?1???
?q?1?(k?n)(n?1)qn?2k?1??(n?1)(k?n)qn?1?? ??(q?1)2qn?2(k?n)(n?1)k?1
?0， ???13分
（ⅱ）当n?k时，由q?1知
bq?1n?an??(k?1?)qn?2?qn?3k?1??????q?k?1?n(?k?q)?k?2q?k?3????q????1 ?q?1?(k?1)(n?k)qk?11??(n?k)(k?1)qk?2k??? ?(q?1)2qk?2(n?k) ?0，
第9页
综上所述，当1?n?k时，an?bn；当n?k时，an?bn；当n?1， k时，an?bn． ???16分
（注：仅给出“1?n?k时，an?bn；n?k时，an?bn”得2分．）
20．设f(x)是定义在(0， ??)的可导函数，且不恒为0，记gn(x)?域内的每
一个x，总有gn(x)?0，则称f(x)为“n阶负函数”；若对定义域内的每一个x，总有
f(x)xn(n?N)．若对定义
*?gn(x)??≥0，
则称f(x)为“n阶不减函数”（?gn(x)??为函数gn(x)的导函数）．
（1）若f(x)?a3?1?x(x?0)既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a的
xx取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数”f(x)，如果存在常数c，使得f(x)?c恒成立，试判断f(x)是
否为“2阶负函数”？并说明理由． 解：（1）依题意，g1(x)? 故
a≤12x2f(x)x4ax5?a1?2?1在(0， ??)4xx2x3上单调递增，
成
立
，
得
[g1(x)]????≥0 恒
， ???2分
为
x?0 因
a≤0，所以
． ???4分
xx 而当a≤0时，g1(x)?a4?12?1?0显然在(0， ??)恒成立， 所
a≤0以
． ???6分
（2）①先证f(x)≤0：
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