13、如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，三角形ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE的长。
14、如图1，在△ABC中，∠A，∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB与R，AB=7，BC=8,AC=9（1.）求BP、CQ、AR的长。（2）.如图2若CD⊥BO于D 求证∠OCD=
1∠A（3）.如图3若BO的延长线叫AC于E，CO的延长线叫AB于F，若∠A=60°，求证：OE=OF. 2
（图1） （图2） （图3）
第十讲 角平分线的判定
[思考]角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的条件是_________；结论是__________ 如果将条件和结论互换，则可以得到命题________________________________________，那么，这个命题是真命题吗？可以证明吗？ 【例1】证明如下：
已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
41
【例2】如图，已知BD = CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：D在∠BAC的平分线上．
【例3】如图，∠CAB的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，求证：BP平分∠CBN
【例4】如图所示，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N
为垂足．求证：PM=PN．
【例5】如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB
于F，EG⊥AC交AC延长线于G，求证：BF=CG。
【思考】若OC为∠AOB的角平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，除了可以得到DP=PE之外，还可以得到哪些角或线段之间的关系？
42
【例5】如图，在∠BAC的平分线上任取一点D，在AB,AC上各到一点E和F，若DE=DF，且AE＞AF,求证∠AED+∠AFD=180°
【例6】如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD=180°，求证CD=DB
【课后作业】
1、如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝
________．
2、如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O到AB、BC两边的距离相等，则∠AOC的度数为_______
（第1题） （第2题）
3、如图所示，AB∥CD，点P是线段MN的中点，且MN⊥CD，点P到BC的距离等于应是________的平分线与________平分线的交点
4、如图，已知点P在△ABC的外部，∠DAE的内部，若点P到BC、BD、CE的距离都相等，则下列关于P的位置说法最准确的是（ ）
5、（2010，南宁）如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，AD＝3，则点D到BC的距离是__________
，则点P
43
（第3题） （第4题） （第5题）
6、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是三角形的角平分线，DE⊥AB于E，下列结论错误的是（ ） A． BD＋DE＝BC
B． DE平分∠ADB
C． AD平分∠EDC
D． AC＝AE
7、如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列结论中不正确的是（ ） A． DA平分∠EDF
C． AD上任一点P到AB、AC的距离相等
B． AE＝AF
D． AB、AC上的点到AD的距离相等
8、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则结论：①△△AEG≌△△AFG；②△AED≌△AFD；③△DEG≌△DFG；④△BDE≌△CDF中正确的个数有（ ）
A． 1个
B． 2个
C． 3个
D． 4个
（第6题） （第7题） （第8题） (第9题) 9、如图，l1、l2、l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有（ ） A． 1处
B． 2处
C． 3处
D． 4处
9、如图，D,E,F分别是三角形ABC三边上的点，CE=BF，且S△DCE=S△DBF
10、如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）∠
DMA＝90°
44
11、如图，已知∠CAD＝∠CDA，AC＝BD，E在BC上，DE＝EC，求证：AD平分∠BAE.
12、如图，AE，BD是△ABM的高，AE,BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM，求证 （1）BC=2AD （2）AB=AE+CE （3）ED平分∠BDM
13、如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（-1，0），点C的坐标是（1，0），点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AC于M （1）求证：∠ABD=∠ACD
（2）若E在BA的延长线上，求证:AD平分∠CAE
（3）当A点运动时，
AC?AB的值是否发生变化？若变化，求其值，
AM若不变，请说明理由。
45