南山中学实验学校高2014级高三下期入学考试暨二月月考 数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合要求.
1．若集合A={x|x2﹣4x﹣5=0}，B={x|x2=1}，则A∩B=（ ） A．﹣1 B．{﹣1} C．{5，﹣1} D．{1，﹣1} 2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（ ）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
uuv13uuuv31BA?(,)BC?(,)22，22，则?ABC?（） 3．已知向量
A.30? B.45? C.60? D.120? 4．已知?，?，?是三个不同的平面，1，2是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（）
lll//?，l1??，则?//?
A．若???，???，则?//? B．若1l//?，l2//?，则l1//l2
C．若?//?，1l??，l2??，则l1?l2
D．若???，1tan??5.若
13????????,???,?sin?2???4?的值为（） tan?2?42?，则??A．
2222?5 B．5 C．10 D．10
2a?log1a26. 设a，b，c均为正数，且大小关系为（）
1()b?log1b(1)c?log2c22，，2，则a，b，c的
A．c?a?b B．c?b?a C．a?b?c D．b?a?c 7．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
acb?CbBC?ABC2bcacAB8.在中，内角，，所对的边分别为，，，且边上的高为，则
最大值为（） A．2
B．2 C．22 D．4
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．3π
B．12π C．2π
D．7π
10．在封闭的直三棱柱
ABC?A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB?BC，AB?6，
BC?8，AA1?3，则V的最大值是（）
9?A.4π B.2
32?C.6π D.3
x2y2?2?1(a?b?0)2Cb11.过椭圆：a的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，
且点B在x
11?k?F2，则椭圆C的离心率的取值范围是（） 轴上的射影恰好为右焦点2，若31(0,)2 A．
21212(,1)(,)(0,)?(,1)23 B．3 C．23 D．
12.若函数f(x)在区间A上，?a，b，c?A，f(a)，f(b)，f(c)均可为一个三角形的
?1?,e?2?f(x)f(x)?xlnx?me?上是三边长，则称函数为“三角形函数”．已知函数在区间?“三角形函数”，则实数m的取值范围为（）
1e2?221(,??)(,??)(,)eA．e B．e C．e e2?2(,??)eD．
二、填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分．答案填在答题卡上．
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=5a3，则
= ．
14．口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜
色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止的不同取球种数为 ．
15．已知a＞0，x，y满足约束条件16．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（抛物线的准
若z=2x+y的最小值为1，则a= ． ，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与
线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）
在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c?2,C?60?.
a?b（1）求sinA?sinB的值；
（2）若a?b?ab，求?ABC的面积.
18．（本小题满分12分）
某网络营销部门为了统计绵阳市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）： 网购金额 频数 频率 （单位：千元） 3 0.05 （0，0.5] x p （0.5，1] 9 0.15 （1，1.5] 15 0.25 （1.5，2] 18 0.30 （2，2.5] y q （2.5，3] 60 1.00 合计 若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3：2．
（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）．
（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望． 19.（本小题满分12分） 已知正三棱柱上. （1）当
ABC?A1B1C1中，AB?2,AA1?3，点D为AC的中点，点E在线段AA1AE:EA1?1:2时，求证DE?BC1；
（2）是否存在点E，使二面角D?BE?A等于60°？ 若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分12分）
已知中心在坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B，若△AOB
的面积为．
）
且直线AB经过点P（﹣2，3（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（﹣，0）的动直线l交椭圆C于M， N两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以MN为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）已知函数g（x）=π），
+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，
f（x）=mx﹣（1）求θ的值；
﹣lnx（m∈R）．
（2）设h（x）=，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立， 求m的取值范围． 选做题。（请考生从第22，23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分，） 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
??x??2?10cos??CC?y?10sin?已知曲线1的参数方程为? (?为参数)，曲线2的极坐标方程为
??2cos??6sin?.
（1）将曲线
C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）在同一坐标系下，曲线说明理由.
C1,C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请
a23.已知函数f（x）=x-1+ax（a＞0）在（1，+∞）上的最小值为15，函数g（x）=|x+a|+|x+1|．
（1）求实数a的值；
（2）求函数g（x）的最小值．