高2014级高三下期入学考试理科数学答案 BAADD CBCAB CD
考点：正余弦定理与三角函数的值域．
13.9
14．口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止种数为 42 ． 【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】恰好取5次球时停止取球，分两种情况3，1，1及2，2，1，利用组合知识求解即可．．
【解答】解：分两种情况3，1，1及2，2，1
当取球的个数是3，1，1时，满足条件的事件数是C31C43C21=24； 当取球的个数是2，2，1时，满足条件的事件数是C31C42C22=18；
这两种情况是互斥的，利用加法原理可得恰好取了5次停止种数为24+18=42， 故答案为42． 15．a=
．
16．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（
，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与
抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（ ）
【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物
线的定义求得
=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=
的值，则三角形的面积之比可得．
代
入，即可求得A的坐标，进而求得
【解答】解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，∵
=，
又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．
由|BF|=|BB1|=2知xB=，yB=﹣，∴AB：y﹣0=（x﹣）．
把x=
代入上式，求得yA=2，xA=2，∴|AF|=|AA1|=．故===．故选A．
17.（本小题满分12分）
在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c?2,C?60?.
a?b（Ⅰ）求sinA?sinB的值；（Ⅱ）若a?b?ab，求?ABC的面积.
abc243????3， 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理可得：sinAsinBsinCsin60?a?所以
43?sinA?sinB?434343a?bsinA,b?sinB,??33sinA?sinB3?sinA?sinB?32222.
，
（Ⅱ）由余弦定理得c?a?b?2abcosC，即
4?a2?b2?ab??a?b??3ab?ab?又a?b?ab，所以
所以
2?3ab?4?0，解得ab?4或ab??1 (舍去)，
S?ABC?113absinC??4??3222. 18．某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）： 网购金额 频数 频率 （单位：千元） 3 0.05 （0，0.5] x p （0.5，1] 9 0.15 （1，1.5] 15 0.25 （1.5，2] 18 0.30 （2，2.5] y q （2.5，3] 60 1.00 合计 若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过ξ千元的顾客定义为“非
网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3：2． （1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）．
（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．
解：（1）根据题意，有
补全频率分布直方图如图所示． …
解得…∴p=0.15，q=0.10．
（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有“非网购达人”有
人． …
人，
故ξ的可能取值为0，1，2，3；，，
，
所以ξ的分布列为： ξ 0 p ∴
19.（本小题满分12分） 已知正三棱柱上. （Ⅰ）当
1 2 ．…
3 ．…
ABC?A1B1C1中，AB?2,AA1?3，点D为AC的中点，点E在线段AA1AE:EA1?1:2时，求证DE?BC1；
（Ⅱ）是否存在点E，使二面角D?BE?A等于60°？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由.
试题解析：（Ⅰ）证明：连接形，
又因为D为AC的中点，所以BD?AC，
DC1，因为ABC?A1B1C1为正三棱柱，所以?ABC为正三角
ACC1A1，平面ABC?平面ACC1A1?AC， 又平面ABC?平面
所以BD?平面
ACC1A1，所以BD?DE.
AE?3,AD?13，所以在Rt?ADE中，
因为
AE:EA1?1:2,AB?2,AA1?3，所以?ADE?30?，
在
Rt?DCC1中，?C1DC?60?，?EDC1?90?，DE?DC所以即
BDC1，BC1?面BDC1，所以DE?BC1.
1.又
BD?DC1?D，
所以DE丄平面
（Ⅱ）假设存在点E满足条件，设AE?m. 取
AC1，连接DD1，则DD1丄平面ABC，所以DD11的中点D1?AD,DD1?BD，
DA、DB、DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系D?xyz，
分别以则
A?1,0,0?,B0,3,0,E?1,0,m???，
所以
????????????????DB?0,3,0,DE?1,0,m?,AB??1,3,0,AE??0,0,m?????，
设平面DBE的一个法向量为
n1??x1,y1,z1?，
??????n1?DB?0??3y1?0??????n???m,0,1n?DE?0?x?mz1?0令z1?1，?1则?，?1得1同理，平面ABE的一个法向量为
?，
n2??x2,y2,z2?，
??????n2?AB?0???x2?3y2?0??????n2?mz2?0n?AE?0y?1????22则，取，∴
?3,1,0?.
cosn1,n2?∴
?3m2m2?1?cos60??12m??32，解得2，
故存在点E,当
AE?22时，二面角D?BE?A等于60?.
19．已知中心在坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B，若△
AOB的面积为．且直线AB经过点P（﹣2，3）
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（﹣，0）的动直线l交椭圆C于M，N两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以MN为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆方程为，（a＞b＞0）．
=1．
∴椭圆的上顶点为B（0，a），右顶点为A（b，0），直线AB的方程为
∴，解得a=，b=1．椭圆C的方程是=1．
（2）若直线与x轴重合，则MN=2b=2，圆的方程为x2+y2=1，
若直线垂直于x轴，则MN=，圆的方程为（x+）2+y2=．显然A（1，0）为两圆的公共点，
因此所求的点T如果存在，只能是A（1，0）．事实上，点（1，0）就是所求的点．证明如下：
当直线斜率存在时，设直线方程为y=k（x+）．
由联立方程组
，得（k2+2）x2+
x+﹣2=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=．
又y1y2=k2（x1+）（x2+y2），
）=k2x1x2+
（x1+x2）+
．∵
=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，