SCH南极数学同步教学设计 人教A版选修2-1第二单元《圆锥曲线与方程》
2.1.1曲线和方程（教学设计）
教学目标
知识与技能目标
（1） 了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系； （2） 初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；
（3） 学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
过程与方法目标
（1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识； （2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；
（3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。
情感与态度目标
（1）通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；
（2）通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；
（3）学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。 教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。
教学难点：怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。 教学过程：
一、创设情境，新课引入：
在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。
二、师生互动，新课讲解：
例1：作出方程x?y?0表示的直线
Y
OX 1 SCH南极数学同步教学设计 人教A版选修2-1第二单元《圆锥曲线与方程》
借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会：必须同时满足（1）直线上的点的坐标都是方程的解
和（2）以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系，那么
直线（图形） 方
变式训练1：作出函数y=x2的图象
类比方程y?x与如图所示的抛物线。这条抛物线是否与这个二元方程 y?x也能建立这种对应关系呢？ （按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）
推广：那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？这就是今天这节课的内容：曲线和方程。（板书课题）
现在请同学们思考这样的问题：
方程F(x,y)?0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系，就能用方程F(x,y)?0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程F(x,y)?0,为什么要具备这些条件？
刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个。现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一个事实？有何区别？究竟用怎样的关系才能把例1中曲线和方程的这种对应关系完整的表达出来？为了弄清这些问题，我们来研究
2
22程（数量） 。
YOX?
F(x,y)=0SCH南极数学同步教学设计 人教A版选修2-1第二单元《圆锥曲线与方程》
下列例题。
（说明：在讨论中，学生会有各种不同的意见，教师应予鼓励，并随时补正纠错，但不要急着把两个关系并列起来抛出定义，中断学生的探索性思维，而是再提出问题，深入探索。）
例2：用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？ （1）x?22y?0
Y （2）x?y?0 （3）x?y?0
（学生思考，回答）
OX说明：方程（1）（2），（3），都不是表示曲线C的方程。第（1）题中曲线C上的点不全是方程x?y?0的解。例如点A(?2,?2)，B(?3,?3)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第（2）题中，尽管“曲线上的点的坐标都是方程的解”，但是以方程x?y?0的解为坐标的点却不全在曲线C上。例如D(2,?2)、E(?3,3)等，即不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第（3）题中，则既有以方程x?y?0的解坐标的点，如G(?3,3)、H(?2,2)等不在曲线C上，又有曲线C上的点，如M(?3,?3)、N(?1,?1)等的坐标不是方程x?y?0的解。事实上，（1）、（2）、（3）中各方程所表示的曲线应该是如图所示的三种情况。
22YYYOXOXOX
(1) (2) (3)
上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例1；又观察、分析了例2中所出现的方程与曲线间所建立的不完整的对立关系。假如我们把例1这种能完整地表示曲线的方程称为
3
SCH南极数学同步教学设计 人教A版选修2-1第二单元《圆锥曲线与方程》
“曲线的方程”的话，我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义了。
在下定义时，针对例2（1）中“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”，以及（2）中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程”应作何规定？
为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点，必须规定“
“曲线上的点的坐标都是方程的解”；为了防止以方程的解为坐标的点不在曲线上，必须规定“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”
这样我们可以对“曲线的方程”、“方程的曲线”下这样的定义：
在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)?0的实数解建立了如下关系：
（1） 曲线上的点的坐标都是方程的解；
（2） 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F。请大家思考：如何用集合C和F间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系？进而重新认识“曲线的方程”和“方程的曲线”定义。
关系（1）指点集C是点集F的子集；关系（2）指点集F是点集C的子集。这样，根据集合的性质，我们可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即
(1)C?F?? ＜====＞C?F。
(2)F?C?例3：下列各题中，图所示的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系（1）还是关系（2）？
曲线C为?ABC的中线AO 曲线C是到坐标轴距离相等的点组成的直线 方程x?0 方程x?y?0
YAYOBOCXX 4
SCH南极数学同步教学设计 人教A版选修2-1第二单元《圆锥曲线与方程》
YOX曲线C是过点（4，1）的反比例函数图象 方程y?
4 x
解：（1）错。不符合定义中的（2），即C?F,但F?C; （2）错。不符合定义中的（1），即F?C,但C?F,;
（3）错。不符合定义中的（1）和（2），即C?F,且F?C;
例4：解答下列问题，并说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系？
22（1） 点A(3,?4),B(?25,2)是否在方程为x?y?25的圆上？
22（2） 已知方程为x?y?25的圆过点C(7,m)，求m的值。
解：依据关系（2），可知点A在圆上；依据关系（1），可知点B不在圆上；依据关系（2），求得
m??32；
变式训练4：
（1）（课本P37练习NO：2）已知方程ax2+by2=2的曲线经过点A（0，的值。
（2）（课本P37习题2.1 A组 NO：1）
例5：证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x?y?25。
（说明：课本上原有例题：证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x?y?25，并判断点M1(3,?4),M2(?25,2)是否在圆上。处理时将有些要求分散到了例3与例4中，例5的要求集中
5
22225）和点B（1，1），求a和b3