1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质
教学目标：
知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。
过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
0n1n（1）(a?b)n?Cna?Cnab?1（2）(1?x)n?1?Cnx?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)，
rr?Cnx??xn.
rn?rr2．二项展开式的通项公式：Tr?1?Cnab 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课：
1二项式系数表（杨辉三角）
(a?b)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3?时，二项式系数
表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质：
012nr，Cn，Cn，?，Cn．Cn可以看成(a?b)n展开式的二项式系数是Cn以r为自变量的函数f(r) 定义域是{0,1,2,,n}，例当n?6时，其图象是7个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵
mn?m）． Cn?Cn直线r?n是图象的对称轴． 2 1
n(n?1)(n?2)(n?k?1)k?1n?k?1?Cn?，
k!kn?k?1n?1n?k?1kk?1?1?k?∴Cn相对于Cn的增减情况由决定，， k2kn?1当k?时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取
2（2）增减性与最大值．∵Cn?k得最大值；
当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C值．
（3）各二项式系数和：
1∵(1?x)n?1?Cnx?rr?Cnx?n2nn?12n，Cn?12n取得最大
?xn，
r?Cn?n ?Cn012令x?1，则2n?Cn?Cn?Cn?三、讲解范例：
例1．在(a?b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 0n1n证明：在展开式(a?b)n?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)中，令
0123a?1,b??1，则(1?1)n?Cn?Cn?Cn?Cn?02即0?(Cn?Cn?02∴Cn?Cn?nn， ?(?1)nCn13)?(Cn?Cn?)，
13?Cn?Cn?，
即在(a?b)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
02说明：由性质（3）及例1知Cn?Cn?13?Cn?Cn??2n?1.
例2．已知(1?2x)7?a0?a1x?a2x2?（1）a1?a2??a7x7，求：
?a7； （2）a1?a3?a5?a7； （3）|a0|?|a1|?77?|a7|.
解：（1）当x?1时，(1?2x)?(1?2)??1，展开式右边为
a0?a1?a2?∴a0?a1?a2??a7
?a7??1，
?a7??1?1??2，
当x?0时，a0?1，∴a1?a2?（2）令x?1， a0?a1?a2??a7??1 ①
2
令x??1，a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?37 ②
1?37①?② 得：2(a1?a3?a5?a7)??1?3，∴ a1?a3?a5?a7??.
27（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正， ∴由（2）中①+② 得：2(a0?a2?a4?a6)??1?37，
?1?37∴ a0?a2?a4?a6?，
2∴|a0|?|a1|??|a7|?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7
?(a0?a2?a4?a6)?(a1?a3?a5?a7)?37 例3.求(1+x)+(1+x)+?+(1+x)展开式中x的系数 2103
(1?x)[1?(1?x)10]解：(1?x)?(1?x)?? （1?x）?1?(1?x)210(x?1)11?(x?1)=，
x∴原式中x实为这分子中的x，则所求系数为C11 347
3
第二课时
25
例4.在(x+3x+2)的展开式中，求x的系数 解：∵(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5
∴在(x+1)展开式中，常数项为1，含x的项为C15?5x，
5
4在(2+x)展开式中，常数项为2=32，含x的项为C152x?80x
5
5
∴展开式中含x的项为 1?(80x)?5x(32)?240x， ∴此展开式中x的系数为240 例5.已知(x?开式的常数项 2n)的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展x2242解：依题意C4n:Cn?14:3?3Cn?14Cn
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!?n=10 设第r+1项为常数项，又 Tr?1?C(x)令
r1010?r2r(?2)r?(?2)rC10xx10?5r2
10?5r?0?r?2， 22?T2?1?C10(?2)2?180.此所求常数项为180 例6． 设?1?x???1?x???1?x??当a0?a1?a2?23??1?x??a0?a1x?a2x2?n?anxn，
?an?254时，求n的值 解：令x?1得：
a0?a1?a2?n?an?2?2?2?232(2n?1)?254， ?2?2?1n∴2?128,n?7，
点评：对于f(x)?a0(x?a)n?a1(x?a)n?1?项系数的和a0?a1?a2?数项和的关系 ?an，令x?a?1,即x?a?1可得各
?an的值；令x?a??1,即x?a?1，可得奇数项系数和与偶
123例7．求证：Cn?2Cn?3Cn?n?nCn?n?2n?1．
n ① ?nCn123证（法一）倒序相加：设S?Cn?2Cn?3Cn? 4
nn?1n?2又∵S?nCn?(n?1)Cn?(n?2)Cn?rn?r0n1n?1∵Cn，∴Cn?Cn?Cn,Cn?Cn,012由①+②得：2S?nCn?Cn?Cn?21 ② ?2Cn?Cn，
n?Cn?，
?∴S?1123?n?2n?n?2n?1，即Cn?2Cn?3Cn?2n?nCn?n?2n?1．
（法二）：左边各组合数的通项为
r?r?rCnn!n?(n?1)!r?1??nCn?1，
r!(n?r)!(r?1)!(n?r)!n012?nCn?n?Cn?1?Cn?1?Cn?2?n?1n?1?Cn． ?1??n?2123∴ Cn?2Cn?3Cn?例8．在(2x?3y)10的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
r分析:因为二项式系数特指组合数Cn,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式
2x?3y中的系数无关.
解：设(2x?3y)10?a0x10?a1x9y?a2x8y2???a10y10(*), 各项系数和即为a0?a1???a10,奇数项系数和为a0?a2??a10,偶数项系数和为
a1?a3?a5???a9,x的奇次项系数和为a1?a3?a5???a9,x的偶次项系数和a0?a2?a4???a10.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
0110①二项式系数和为C10?C10???C10?210.
②令x?y?1,各项系数和为(2?3)10?(?1)10?1.
0210③奇数项的二项式系数和为C10?C10???C10?29, 139偶数项的二项式系数和为C10?C10???C10?29.
④设(2x?3y)10?a0x10?a1x9y?a2x8y2???a10y10,
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