令x?y?1,得到a0?a1?a2???a10?1?(1),
令x?1,y??1(或x??1,y?1)得a0?a1?a2?a3???a10?510?(2) (1)+(2)得2(a0?a2???a10)?1?510, ∴奇数项的系数和为1?5;
210(1)-(2)得2(a1?a3???a9)?1?510, ∴偶数项的系数和为1?5.
210⑤x的奇次项系数和为a1?a3?a5???a9?1?5;
210x的偶次项系数和为a0?a2?a4???a10?1?5.
102点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.
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第三课时
例9．已知(3x?x2)2n的展开式的系数和比(3x?1)n的展开式的系数和大992,求
1(2x?)2n的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.
x解：由题意22n?2n?992,解得n?5.
①(2x?)的展开式中第6项的二项式系数最大,
5即T6?T5?1?C10?(2x)5?(?)5??8064.
1x101x②设第r?1项的系数的绝对值最大,
rr则Tr?1?C10?(2x)10?r?(?)r?(?1)r?C10?210?r?x10?2r
r10?rr?1rr?1???C10?210?r?1?11?r?2r?C10?2?C10?2C10∴?r,得,即 ?r?10?rr?110?r?1r?1???C10?2?2(r?1)?10?r?C10?2?2C10?C101x ∴8?r?11,∴r?3,故系数的绝对值最大的是第4项 33例10．已知：(x?3x)的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 232n解：令x?1，则展开式中各项系数和为(1?3)n?22n， 又展开式中二项式系数和为2， ∴22nn?2n?992，n?5．
233232223（1）∵n?5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴T3?C(x)(3x)?90x，T4?C(x)(3x)?270x， （2）设展开式中第r?1项系数最大，则Tr?1?C(x)rrr?1r?1?79?3C5?3C5??r?∴?rr，∴r?4， r?1r?122??3C5?3C5252263523r5235?r(3x)?3Cx2rrr510?4r3，
即展开式中第5项系数最大，T5?C(x)(3x)?405x例11．已知Sn?2?Cn2n1n?1452324263．
2n?2n?1?Cn2???Cn?2?1(n?N?)，
求证：当n为偶数时，Sn?4n?1能被64整除 7
分析：由二项式定理的逆用化简Sn，再把Sn?4n?1变形，化为含有因数64的多项式 1n?12n?2 ∵Sn?2n?Cn2?Cn2?nn?1?Cn?2?1?(2?1)n?3n，
*∴Sn?4n?1?3?4n?1，∵n为偶数，∴设n?2k（k?N）， ∴Sn?4n?1?3?8k?1?(8?1)k?8k?1
1k?1?Ck08k?Ck8?0k1k?1 ?(Ck8?C88?2k?Ckk?18?1?8k?1 ?Ck2)82 （?） ，
当k=1时，Sn?4n?1?0显然能被64整除， 当k?2时，（?）式能被64整除，
所以，当n为偶数时，Sn?4n?1能被64整除 三、课堂练习： 1．
?x?1??x?1?展开式中x的系数为 ，各项系数之和为 ．
4541232．多项式f(x)?Cn(x?1)?Cn(x?1)2?Cn(x?1)3?n?Cn(x?1)n（n?6）的展开式
中，x的系数为 3．若二项式(3x?261n)（n?N?）的展开式中含有常数项，则n的最小值为（ ） 32x A.4 B.5 C.6 D.8 4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）
A.低于5％ B.在5％～6％之间 C.在6％～8％之间 D.在8％以上
n2n5．在(1?x)的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1?x)等于（ ） 2222A.0 B.pq C.p?q D.p?q
1?a01?a211?a321?a43Cn?Cn?Cn?Cn?6．求和：
1?a1?a1?a1?a7．求证：当n?N且n?2时，3?2101?an?1n???1?Cn．
1?an?nn?1?n?2?．
8．求?2?x?的展开式中系数最大的项 答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：f?x??x?1?n?6? n 8
3. B 4. C 5. D 6. ?a?1?a?7. (略) 8. T3?1?15360x3
n?1
四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用
五、课后作业：P36 习题1.3A组5. 6. 7.8 B组1. 2
?1621?1．已知(a?1)展开式中的各项系数的和等于?的展开式的常数项，而x??x??52n5(a2?1)n 展开式的系数的最大的项等于54，求a的值(a?R) 答案：a??3 2．设?1?x??3?2x??a0?x?1??a1?x?1??求：① a0?a1?591413?a13?x?1??a14
?a14 ②a1?a3?9?a13．
?9963 答案：①39?3?19683； ②
?35?201234567893．求值：2C9． ?C9?2C9?C9?2C9?C9?2C9?C9?2C9?C98答案：2?256 2964．设f(x)?(x?x?1)(2x?1)，试求f(x)的展开式中：
（1）所有项的系数和；
（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 答案：（1）3?729；
636?1?364； （2）所有偶次项的系数和为236?1?365 所有奇次项的系数和为2六、板书设计（略） 七、教学反思：
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式
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系数的问题的重要手段。
二项式定理概念的引入，我们已经学过(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况；(a+b)n展开后应有什么规律，这里n∈N，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.
选择实验归纳的研究方式，对(a+b)n一般形式的研究与求数列{an}的通项公式有些类似，大家想想，求an时我们用了什么方法，学生：先写出前n项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a+b)4的展开，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以用(a+b)3展开的结论计算(a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：
(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2
+4ab3+b4.
对计算的化算：对(a+b)n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用an,an?an来表示，它这样一来(a+b)n的展开形式就可写成(a+b)n=ana0nn?1rn?rrnnr现在的问题就是要找的表达形式.为?a1ab??aab??abannnn01n此我们要采用抽象分析法来化简计算
2007年高考题
1．（2007年江苏卷）若对于任意实数x，有x3?a0?a1(x?2)?a2(x?2)2?a3(x?2)3，则a2的值为（B）
A．3 B．6 C．9 D．12
2??2．（2007年湖北卷）如果?3x2?? 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值3x??为
A.3 B.5 C.6 D.10
【答案】：B. 【分析】：Tr?1?Cn(3x)r2n?rn(?2rrn?rrn?r)?Cn3(?2)rx2(n?r)?3r?Cn3(?2)rx2n?5r， 3x）。nmin?5.
2n?5r?0，n?5r（r?2,4,2【高考考点】：本题主要考查二项式定理的有关知识和整除的知识,以及分析问题和解决问题的能力.
【易错点】：注意二项式定理的通项公式中项数与r的关系。 【备考提示】：二项式定理是高考的常考内容，有时单独命题，有时与其它分支的知识相综合。
3??3．（2007年江西卷）已知?x?3?展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和
x??
10
n之比为64，则n等于（ C ） Ａ．4 Ｂ．5
nＣ．6
Ｄ．7
1??4．（2007年全国卷I）?x2??的展开式中，常数项为15，则n?（ D ）
x??A．3
B．4
C．5
D．6
81??5．（2007年全国卷Ⅱ）(1?2x2)?x??的展开式中常数项为 ?42 ．（用数字作答）
x??51??2x6．（2007年天津卷）若?x2?的二项展开式中的系数为，则a? 2 （用数字?2ax??作答）．
7．（2007年重庆卷）若(x?61n)展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ） xA10 B.20 C.30 D.120
8．（2007年安徽卷）若(2x3+
1x)a的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 7 .
9．（2007年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，?，第n次全行的数都为1的是第 2?1 行；第61行中1的个数是 32 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1
?? ??????????????? 图1
n 11