第四编 三角函数及三角恒等变换
§4.1 角的概念的推广和弧度制及任意角的三角函数
基础自测
1.A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B等于 A.{小于90°的角} B.{0°～90°的角} C.{第一象限的角}
D.以上都不对
答案 D
2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 ( )
A.
?3 B.???6 C.-3 D.-6 答案 A
3.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2
，则扇形的圆心角的弧度数是 ( )
A.1 B.4 D.2或4 答案 C
4.已知角?终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin?等于 A.sin2 B.-sin2 C.cos2 D. -cos2 答案 D
5.?是第二象限角，P（x，5）为其终边上一点，且cos?=
24x,则sin?的值是 A.
104 B.64 C.2104 D.-4 答案 A
1
（ ） C.1或4 （ ）
）
（
例1 若?是第二象限的角，试分别确定2?,解 ∵?是第二象限的角，
∴k·360°+90°＜?＜k·360°+180°（k∈Z）.
（1）∵2k·360°+180°＜2?＜2k·360°+360°（k∈Z）， ∴2?是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上. （2）∵k·180°+45°＜
?? ,的终边所在位置. 23? ＜k·180°+90°（k∈Z）， 2当k=2n（n∈Z）时， n·360°+45°＜
?＜n·360°+90°； 2当k=2n+1（n∈Z）时， n·360°+225°＜∴
?＜n·360°+270°. 2?是第一或第三象限的角. 2?＜k·120°+60°（k∈Z）， 3（3）∵k·120°+30°＜
当k=3n（n∈Z）时， n·360°+30°＜
?＜n·360°+60°； 3当k=3n+1（n∈Z）时， n·360°+150°＜
?＜n·360°+180°； 3当k=3n+2（n∈Z）时， n·360°+270°＜∴
?＜n·360°+300°. 3?是第一或第二或第四象限的角. 3例2 （1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？
（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角?等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 （1）设扇形的圆心角是?rad，因为扇形的弧长是r?,所以扇形的周长是2r+r?. 依题意，得2r+r?=?r,
2
?∴?=?-2=(?-2)×??180?????≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′,
∴扇形的面积为S=
12r2?=12
2（?-2）r. （2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20, 即l=20-2r (0＜r＜10)
①
扇形的面积S=12lr，将①代入，得 S=
12(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2
+25, 所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时 l=20-2×5=10,?=
lr=2. 所以当?=2 rad时，扇形的面积取最大值.
例3 （12分）已知角?的终边在直线3x+4y=0上，求sin?,cos?,tan?的值. 解 ∵角?的终边在直线3x+4y=0上， ∴在角?的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0), 则x=4t,y=-3t,
r=x2?y2?(4t)2?(?3t)2?5t, 当t＞0时，r=5t, sin?=y?3t3xr?5t??5,cos?=r?4t5t?45, tan?=
yx??3t34t??4; 当t＜0时，r=-5t,sin?=y?3tr??5t?35, cos?=x4t4r??5t??5, tan?=
y?3t3x?4t??4. 综上可知，t＞0时，sin?=?35,cos?=435,tan?=?4;
t＜0时，sin?=
35,cos?=-435,tan?=?4. 例4 在单位圆中画出适合下列条件的角?的终边的范围,并由此写出角?的集合: (1)sin?≥32;(2)cos?≤?12.
3
2分
4分
8分
10分
12分
解 （1）作直线y=
3交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角? 2的终边的范围，故满足条件的角?的集合为
?|2k?+
?2≤?≤2k?+?，k∈Z . 331交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）2（2）作直线x=?24??即为角?终边的范围.故满足条件的角?的集合为??|2k??????2k???,k?Z?.
33??
1.已知?是第三象限角，问
?是哪个象限的角？ 3解 ∵?是第三象限角，∴180°+k·360°＜?＜270°+k·360°（k∈Z）， 60°+k·120°＜
?＜90°+k·120°. 3①当k=3m(m∈Z)时，可得 60°+m·360°＜故
?＜90°+m·360°（m∈Z）. 3?的终边在第一象限. 3②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得 180°+m·360°＜故
?＜210°+m·360°（m∈Z). 3?的终边在第三象限. 3③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得 300°+m·360°＜故
?＜330°+m·360°（m∈Z）. 3?的终边在第四象限. 3?是第一、第三或第四象限的角. 3综上可知，
2.已知扇形OAB的圆心角?为120°，半径长为6, （1）求 的弧长； （2）求弓形OAB的面积. 解 （1）∵?=120°=
2?2?rad，r=6，∴ 的弧长为l=×6=4?.
33 4
(2)∵S1扇形OAB=
2lr=12×4?×6=12?，S122?12
3△ABO=2r·sin3=2×6×2=93，
∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△ABO=12?-93.
3.已知角?的终边在y轴上，求sin?、cos?、tan?的值.
解 ∵角?的终边在y轴上，∴可在?的终边上任取一点（0,t)(t≠0),即x=0，y=t. ∴r=x2?y2=02?t2=|t|. 当t＞0时，r=t,sin?=
ytx0yr=t=1,cos?=r=t=0,tan?=x不存在；
当t＜0时，r=-t，sin?=yr=t?t=-1, cos?=
xr=0?t=0,tan?=yx不存在. 综上可知,sin?=±1,cos?=0,tan?不存在. 4.求下列函数的定义域：
（1）y=2cosx?1；（2）y=lg(3-4sin2
x）. 解 （1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥
12. 由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).
∴x∈??????2k??3,2k??3??（k∈Z）.
（2）∵3-4sin2
x＞0,∴sin2
x＜
34,∴-32＜sinx＜32.
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x?（k?-?3,k?+?3）（k?Z).
一、选择题
1.已知cos?·tan?＜0,那么角?是 A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角答案 C
5
）（