（2）设g(x)=f(x)-3f??x???求函数g(x)的最小值及相应的x的取值集合.
?4?,?解 （1）由图像可知：A=1， 函数f(x)的周期T满足：T??4=
3-
?12=
4，T=?，
∴T=
2??=?.∴?=2.∴f(x)=sin(2x+?).
又f(x)图像过点???,1?,
?12??∴f?????????=2k?+
?（k∈Z）.
?12?=sin?????6?=1，??62又|?|＜?2,故?=
????3.∴f(x)=sin??2x?3?.
?（2）方法一 g(x)=f(x)-3 f?????x?4?
?=sin??2x????3?-3sin
???2x??????23??=sin???2x???3?-3sin???2x?5???6? ?=132sin2x+2cos2x+3sin2x-322cos2x
=2sin2x, 由2x=2k?-?2(k?Z),得x=k?-
?4(k?Z),
∴g(x)的最小值为-2，相应的x的取值集合为?x|x?k?????4,k?Z?? ?方法二 g(x)=f(x)-3f??x????4?
?=sin??2x????3?-3sin2x?????????23?
?=sin??3cos??2x??3?-???2x????3? ?=2sin????2x?????3?????3?=2sin2x,
?由2x=2k?-
?(k?Z),得x=k?-?24(k?Z),
∴g(x)的最小值为-2,相应的x的取值集合为{x|x=k?-?4,k?Z}.
19.(20082江苏，15)（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角?，?，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为
2510，
25.
（1）求tan(?+?)的值； （2）求?+2?的值.
46
解 由条件得cos?=∵?,?为锐角, ∴sin?=1?cos2?=sin?=1?cos因此tan?=
2210,cos?=
255.
7210,
?=
55.
sin?cos?sin?cos?=7,tan?==
12.
(1)tan(?+?)=
tan??tan?1?tan??tan?7?1212==-3.
1?7?(2)∵tan2?=
2tan?1?tan2=
?2121?()22?1=
43,
∴tan(?+2?)=
tan??tan2?1?tan??tan2?7?43433?4==-1.
1?7?∵?,?为锐角,∴0＜?+2?＜
3?2,∴?+2?=.
20.（12分）已知tan?、tan?是方程x-4x-2=0的两个实根，求:cos(?+?)+2sin(?+?)cos(?+?)-3sin(?+?)的值.
解 由已知有tan?+tan?=4,tan??tan?=-2, ∴tan(?+?)=
tan??tan?1?tan?tan?222
=
43,
cos2(?+?)+2sin(?+?)cos(?+?)-3sin2(?+?) =
cos(???)?2sin(???)cos(???)?3sin(???)cos(???)?sin2(???)222
=
1?2tan(???)?3tan(???)1?tan(???)4316922
1?2??3?169==-
35.
1?21.（12分）把曲线C：y=sin??7??????x??cos?x??向右平移
8??8??a (a＞0)个单位，得到的曲线C′关于直线x=
?4对称.
（1）求a的最小值；
（2）就a的最小值证明：当x∈????8?7,?9???8?时，曲线C′上的任意两点的直线斜率恒大于零.
47
（1）解 ∵y=sin?=sin?x????7??????x??cos?x?? 88??????????cos?x??8?8?????,
4?12
=
12sin?2x???∴曲线C′方程为y=
?4sin?2(x?a)??????4?，
它关于直线x=∴
12对称，
???4?sin?2(?????4?a)?=±
?212，
即2????a?+?4?4=k?+(k∈Z),
解得a=
?8-
k?2(k∈Z),
?8∵a＞0,∴a的最小值是
?8.
12（2）证明 当a=
12时，曲线C′的方程为y=sin2x.
由函数y=当x∈????sin2x的图像可知：
,?9???8?8?7时，函数y=
12sin2x是增函数，
所以当x1＜x2时，有y1＜y2, 所以
y2?y1x2?x1＞0，即斜率恒大于零.
?822.（14分）设函数f(x)=sin(2x+?)(-?＜?＜0)，y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=（1）求?；
（2）求函数y=f(x)的单调增区间；
.
（3）证明：直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图像不相切. （1）解 ∵x=∴sin?2????8是函数y=f(x)的图像的对称轴， =±1，
?????8?∴
?4+?=k?+
?2，k∈Z.
3?4∵-?＜?＜0，∴?=-.
3?4（2）解 由（1）知?=-，因此y=sin?2x???3???4?.
48
由题意得2k?-则k?+
?8?2≤2x-583?4≤2k?+
?2，k∈Z.
≤x≤k?+
???，k∈Z
所以函数y=sin?2x??5???k??,k????88??3???4?的单调增区间为
，k∈Z.
3?43?4（3）证明 ∵|y?|=|(sin（2x?)?|=|2cos(2x?)|≤2，
52∴曲线y=f(x）的切线斜率的取值范围是［-2，2］，而直线5x-2y+c=0的斜率为y=sin(2x?
3?4＞2，所以直线5x-2y+c=0与函数
)的图像不相切.
49