322H.Chen,L.Wang/AppliedMathematicsandComputation239(2014)320–325
(
Ce¼max
i¼1;2;...;n
)
ðciÀliÞ
ðkiþeÞ;kþe:ihi
j¼1ije
Now,inordertoshowthisLemma,weonlyclaimthat(3)implies
yiðtÞ6CeeÀlit;
tPÀhð4Þ
foralli¼1;2;...;n.Easily,foranyt2½Àh;0 ,(4)holds.Assume,forthesakeofcontradiction,thatthereexistsaset
I&f1;2;...;ng,thereexistsati1>0ði02IÞsuchthat
yi0ðtÞ<CeeÀli0t;yjðtÞ6CeeÀljt;
t2½Àh;ti1Þ;
andyi0ðti10Þ¼CeeÀli0t1
i0
ð5Þ
andforj2f1;2;...;ngnI,
tPÀh:
Then,itfrom(3)implies
yi0ðti10Þ
6ki0e6ki0e¼ki0e
i0
Àcit1
ZnnXXi0
Àliðt1þhÞ
þwi0jCesupe0þvi0jCe
j¼1
h2½Àh;0
j¼1
0t1
i
eÀci0ðt1ÀsÞsupeÀli0ðsþhÞds
h2½Àh;0
0t1i
i0
0Àcit1
i
ZnnXXi0i0
Àlit1lhÀcit1i
þwi0jCee0e0þvi0jCee0
PnÀ
j¼1
j¼1
i0h
eðci0Àli0Þsdse!
li0h
i0
Àcit1
l
j¼1vijCee
i0Ài0
e
i0
Àcit1
nXþwi0jþ
j¼1
Pn
j¼1vij
i0Ài0
Ceeli0heÀli0t1:
i0
ð6Þ
Fromthede nitionsof
nX
j¼1
Pn
wi0jþ
li0andCe,wehave
!
j¼1vij
i0Ài0
Pn
eli0h¼1
and
ki0e
0Àcit1
i
À
j¼1
vijCeel
i0h
i0Ài0
i0
e
0Àcit1
i
6ki0e
0Àcit1
i
PnÀ
j¼1
vijel
i0h
i0Ài0
i0ðciÀli0Þ
eÀci0t1ðeþki0Þn0
i0h<0:eijj¼10
Thus,(6)yields
yi0ðti10Þ<CeeÀli0t1;
whichcontradicts(5),thatis,(4)holds.
Ase>0isarbitrarilysmall,inviewof(4),itfollowsthatforalli¼1;2;...;n,
&'kiðciÀliÞ
wherel¼mini¼1;2;...;nfl1;l2;...;lng>0andM¼maxi¼1;2;...;n>0.TheproofofthisLemmaiscompleted.ih;ki
e
j¼1ij
yiðtÞ6MeÀlt;
tPÀs;
h
WiththehelpofLemma1,wemainlydiscusstheexponentialstabilityinmeansquaremomentofsystem(1).ItiseasilyobtainedfromkDk<1thatjdiij<1foranyi¼1;2;...;n.
Theorem2.System(1)isexponentiallystableinmeansquaremoment,ifthefollowinginequalities
!2
nnnnXXXnX3nc322idijþaÀdþhij<1ijij2jdiijj¼1ð1ÀjdiijÞcij¼1nj¼1ð1ÀjdiijÞcij¼1
holdforanyi¼1;2;...;n.Proof.From(2),wehave
ð7Þ
#"#nnnnnXXXXX
dxiðtÞÀdijxjðtÀhðtÞÞ¼ÀciðxiðtÞÀdijxjðtÀhðtÞÞÞÀcidijxjðtÀhðtÞÞþaijxjðtÀhðtÞÞdtþhijxjðtÞdBðtÞ:
j¼1
j¼1
j¼1
j¼1
j¼1
"
ð8Þ
Byusingtheformulaforthevariationofparameters,fortP0,wehavei¼1;2;...;n,