H.Chen,L.Wang/AppliedMathematicsandComputation239(2014)320–325323
#"#ZtnnnnXXXXci
xiðtÞ¼xið0ÞÀdijxjðÀhð0ÞÞeÀcitþdijxjðtÀhðtÞÞþeÀciðtÀsÞaijÀdijxjðsÀhðsÞÞds
nj¼10j¼1j¼1j¼1
ZtnX
ÀciðtÀsÞ
þehijxjðsÞdBðsÞ
j¼1
"
¼I1iþI2iþI3iþI4i:
Byusingthefundamentalinequalities:ðaþbÞ6m1Àpa2þð1ÀmÞ1Àpbðm2ð0;1ÞÞandðaþbþcÞ63ða2þbþc2Þfor
anyrealnumbersa;bandc.Andtakingmathematicalexpectation,weobtainforalltP0,
2
2
2
2
EfjI2ij2g3½EfjI1ij2gþEfjI3ij2gþEfjI4ij2g
EfjxiðtÞjg6;þ
jdiij1Àjdiij
2
ð9Þ
where
8 29 !()
=nn< XX 2
EfjI1ij2g6E xið0ÞÀdijxjðÀhð0ÞÞ eÀ2cit621þndijEsupjwiðhÞj2eÀcit;
;: h2½Àh;0 j¼1j¼1EfjI2ij2g6n
nX2
dijsupEfjxjðtþhÞj2gj¼1
Àh6h60
ð10Þ
ð11Þ
and
EfjI3ij2g6E
8 <Z:Z
t0
t
!29 nn=XXcicici
eÀðtÀsÞeÀtÀsÞ aijÀdij jxjðsÀhðsÞÞjds
;nj¼1 j¼1
1
6ci
"#2nnXXci
eÀciðtÀsÞnaijÀdijEfjxjðsÀhðsÞÞj2gds
nj¼10j¼1
"#2
Znn1tÀciðtÀsÞXciX
enaijÀdijsupEfjxjðsþhÞj2gds:6
ci0nj¼1h2½Àh;0 j¼1
ð12Þ
FromthepropertyofBrownianmotion,itfollows
dhw;wit¼t;& Z
0t
tP0Z
andforanycontinuousfunctionf:R!R,thefollowingformula
t
EfiðsÞdBðsÞfjðsÞdBðsÞ
'
¼E
&Z
t
'
fiðsÞfjðsÞdhB;Bis;
tP0
holds.Thus,weobtain
8 29Z
=nn< ZttXX 22ÀciðtÀsÞÀciðtÀsÞ
EfjI4ijg¼E ehijxjðsÞdBðsÞ 6ehijEfjxjðsÞj2gds:
;: 00j¼1j¼1
Pn2 ()Pn2
61þnj¼1dijnj¼1dij
EfjxiðtÞj2g6supEfjxjðtþhÞj2gEsupjwiðhÞj2eÀcitþ
jdj1Àjdiijiih2½Àh;0 Àh6h60
"#2ZtnnX3ciXÀciðtÀsÞ
þenaijÀdijsupEfjxjðsþhÞj2gdsð1ÀjdiijÞci0nj¼1h2½Àh;0 j¼1
ZtnX32
eÀciðtÀsÞhijsupEfjxjðsþhÞj2gdsþ
ð1ÀjdiijÞ0h2½Àh;0 j¼1
ð13Þ
Substituting(10)–(13)into(9),itfollows
forallt2½0;þ1Þandi¼1;2;...;n.AnditiseasilyseenthatthereexistsomepositivenumbersMi>0ði¼1;2;...;nÞsuch
Pn2
6ð1þndÞ2j¼1ijÀcit
thatEfjxiðtÞjg6Mie,whereMi¼Efsuph2½Àh;0 jwiðhÞj2g,forallt2½Àh;0 andi¼1;2;...;n.1Àjdiij
Therefore,byvirtueofLemma1and(7),wehave
EfjxiðtÞj2g6M0ieÀat;
tP0;