宏观经济学 高鸿业 第五版 课后答案
(1)求无广告情况下，利润最大化时的产量、价格与利润。
(2)求有广告情况下，利润最大化时的产量、价格、广告费用和利润。 (3)比较(1)与(2)的结果。
解答：(1)若无广告，即A＝0，则厂商的利润函数为
π(Q)＝P(Q)·Q－C(Q)＝(88－2Q)Q－(3Q2＋8Q)
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＝88Q－2Q－3Q－8Q＝80Q－5Q
令?eq \f(dπ(Q),dQ)?＝0，有
?eq \f(dπ(Q),dQ)?＝80－10Q＝0
*
解得 Q＝8
且 ?eq \f(d2π(Q),dQ2)?＝－10＜0 所以，利润最大化时的产量Q*＝8。
*
且 P＝88－2Q＝88－2×8＝72
π*＝80Q－5Q2＝80×8－5×82＝320
因此 ?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Q*＝8 P＝72 π＝320))?
(2)若有广告，即A＞0，则厂商的利润函数为
π(Q，A)＝P(Q，A)·Q－C(Q，A) ＝(88－2Q＋2?eq \r(A)?)·Q－(3Q＋8Q＋A) ＝88Q－2Q2＋2Q?eq \r(A)?－3Q2－8Q－A
＝80Q－5Q2＋2Q?eq \r(A)?－A
令?eq \f( π(Q，A), Q)?＝0，?eq \f( π(Q，A), A)?＝0，有
?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f( π(Q，A), Q)＝80－10Q＋2\r(A)＝0
\f( π(Q，A), A)＝QA－\f(1,2)－1＝\f(Q,\r(A))－1＝0 Q＝\r(A)))?
解以上方程组得：Q*＝10，A*＝100；且?eq \f( 2π(Q，A), Q2)?＝－10＜0，?eq \f( 2π(Q，A), A2)?＝－?eq \f(1,2)?QA－?eq \f(3,2)?＜0。所以，Q*＝10，A*＝100是有广告情况下利润最大化的解。
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将Q＝10，A＝100分别代入需求函数和利润函数，有
P＝88－2Q＋2?eq \r(A)?＝88－2×10＋2×?eq \r(100)?＝88 π*＝80Q－5Q2＋2Q?eq \r(A)?－A ＝80×10－5×10＋2×10×?eq \r(100)?－100 ＝400
因此 ?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Q*＝10 A*＝100
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2
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