单摆振动周期T?2?lg，其中g?980cm/s，摆长l?9.8cm，要使周期2**9.
增大0.01s,摆长需增长多少?gl
?
?T?dT??l解:
?l?gl 983.14?0.01?0.31(cm)
??T ?.
?**10.设扇形的圆心角??60，半径R?100cm，如果R保持不变，?减
少30?，问扇形面积约改变多少？如果??60不变，R增加1cm，问扇形面积约改变多少？
S?12??R2解：扇形面积公式为，
?S?(dSd?)????12R2（1） 视?为变量，则
?(??360)??43.63。
（2） 视R为变量，则
?S?dSdR??R??R??R??3?100?1?104.7.
**11.测得一个角大小为45，若已知其相对误差为3%，问由此计算这个角的正弦函数值所产生的绝对误差和相对误差各是多少？
解：设角度为x，于是y?sinx，由微分近似计算，有
2??????y?y???x?cosx??x?cos45???3%????3%?0.01666424?? （1）；
?y?y???xsinx?2.356%? （2）
y.
第3章 （之2） 第14次作业
教学内容：§3.2微分中值定理
**1. 试求在[?1,1]内对函数f(x)?arcsinx应用拉格朗日中值定理解：f(x)?arcsinx在[?1,1]上连续,在(?1,1)内可导 即f(x)在[?1,1]满足拉格朗日中值定理的条件
时?的值.
又f?(x)?11?x2 ?f(1)?f(?1)1?(?1)4
?令f?(?)?11??2?2
得到(?1,1)内的解???1??2 4
即存在?1?1?4?2,?2??1??2,使
，(i?1,2)f?(?i)?f(1)?f(?1)1?(?1).
**2.
设a?b,ab?0,f(x)?1x,则在a?x?b内使f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立
的点? （ ）
(A) 只有一点 (B)有两点 (C) 不存在, (D)是否存在,与a,b的具体数值有关答 (C)
***3.设f?x???x?a??x?b??x?c??x?d?（其中a?b?c?d），不用求f??x?，说明方程f??x??0有几个实根，指出它们所在的区间。
解：显然，f?x?在?a,b?,?b,c?,?c,d?三个闭区间上连续，且在?a,b?,?b,c?,?c,d?内可导，又因为有f?a??f?b??f?c??f?d??0，由罗尔中值定理，至少存在三点
?1??a,b?,?2??b,c?,?3??c,d?，
???使得f??1??f??2??f??3??0.
又f??x?是一个实系数一元三次多项式函数，所以方程f??x??0在实数范围内最多只
有
??????三个根，亦即?1,?2,?3。它们的所在区间为 ?1?a,b,?2?b,c,?3?c,d.
**4.若已知方程
anx?an?1xnn?1???a1x?0n?1有一个正根x0，证明方程
n?2nanx??n?1?an?1x???a1?0
至少有一个小于x0的正根.
n?F?x??anx0,x0?证：考虑闭区间，显然函数
?an?1xn?1???a1x在
?0,x0?上连续，在
??0,x0??0,x0?内可导，且有F?0??F?x0?。所以由罗尔中值定理值必存在一个?F?????0.
，使得
?????????????,?,?????,?????22?，使 ***5.设f?x?在?22?上连续，在?22?内可导，试证：存在
f????cos??f???sin?.
?????????,??,??22???????gx?fxcosxgx?上连续，在?22?内可导，且证：令，显然在???????????g????g???0????,??2??2??22?，使得g?????0，即。由罗尔中值定理知，存在
f????cos??f???sin??0.
***6.证明下列不等式：
1?ab?lnba?ba?1,?0?a?b?.
证：令f?x??lnx，显然f?x?在?a,b?上连续,在?a,b?内可导，故由拉格朗日定理，知必
f?b??f?a??f?????1存在一个???a,b?，使得
1?f?b??f?a?b?abab?aab?a1? ?*?
由?*?式，显然有 bb?a?1??a， 即
1?ab?lnba?ba?1
a?f?b??f?a??ln?， 亦即 ，证毕.
f?0??0,f??x??M****7.设f?x?在??1,1?上可微，且。试证明：在??1,1?上恒成立
f?x??M（其中M?0是常数）。
证：对任意的x???1,1?(x?0)，显然f?x?在由0与x构成的闭区间[x,0]或[0,x]上满足拉格朗日条件,所以，在0与x之间必存在一个?，使得
f(x)?f(0)?f????(x?0) , ?*?
由已知，
f??x??M，及
x?1，代入?*?式，即得
f?x??f?0??x?f?????M；
f(0)?0?M而当x?0时，，
于是可得对任意的x???1,1?，都有
f?x??M.
**8. 设f(x)在[a,b]上可导,证明存在??(a,b),使
1b a33b?af(a) f(b)b3??2?3f(?)??f?(?)?，
a3其中
f(a)f(b)?b3f(b)?a3f(a).
证明：令F(x)?xf(x)，则F(x)在[a,b]上可导，利用拉格朗日3中值定理，则至少存在即3??(a,b)，使F(b)?F(a)?F?(?)(b?a)
32
bf(b)?af(a)?[3?f(?)??3f?(?)](b?a)，
即1b a33b?af(a) f(b)??2?3f(?)??f?(?)?.
lim
***9. 若x???
解：依题意，函数f(x)在闭区间?x,x?100?上必连续，在?x,x?100?内必可导，故符合Lagrange中值定理的条件。所以，???(x,x?100)，使 x???lim[f(x?100)?f(x)]?limf'(?)[(x?100)?x]x???limf??x??a，计算极限x????f?x?100??f?x??.
，
其中 x???x?100，当x???时，有 ????， 上式?limf'(?)?100?100a????.
****10.设f?x?在?a,b?上具有1阶连续导数，f???x?在?a,b?内存在，且f?a??f?b??0。又存在常数c??a,b?，使f?c??0。试证，至少存在一点???a,b?，使f??????0.
证：依题意，f?x?在?a,c?及?c,b?上均满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在
f???1??f?c??f?a?c?a?0,f???2??f?b??f?c?b?c?0?1??a,c?,?2??c,b?，使得。又f?x?在
?a,b?上具有一阶连续导数，且f??x?在?a,b?内可导，所以，f??x?在??1,?2?上必满足拉格
朗日中值定理的条件。所以，存在????1,?2???a,b?，使得
****选做题. 设函数f(x)在[1,e]上可导,且0?f(x)?1,在(1,e)内xf?(x)?1，证明
x,使f(x)?lnx.
f??????f???2??f???1??2??1?0.
在?1,e?内有且仅有一个
证明:令F(x)?f(x)?lnx
(1)则F(x)在[1,e]上连续,可导,由0?f(x)?1,则F(1)?F(e)?0利用闭区间上连续函数的零值定理得至少存在??(1,e),使F(?)?0 即f(?)?ln?(2)再证在(1,e)内最多存在一个?,使f(?)?ln?反证,设存在1?x1?x2?e,使F(x1)?F(x2)?0则F(x)在[x1,x2]上满足罗尔定理的条件则至少存在c?(x1,x2)使F?(c)?0
即f?(c)?1c,即cf?(c)?1,这与在(1,e)内xf?(x)?1矛盾!故在(1,e)内最多只有一个?使f(?)?ln?.结合(1)得,在(1,e)内有且仅有一个x,使f(x)?lnx.