(1)则F(x)在[1,e]上连续,可导,由0?f(x)?1,则F(1)?F(e)?0利用闭区间上连续函数的零值定理得至少存在??(1,e),使F(?)?0 即f(?)?ln?(2)再证在(1,e)内最多存在一个?,使f(?)?ln?反证,设存在1?x1?x2?e,使F(x1)?F(x2)?0则F(x)在[x1,x2]上满足罗尔定理的条件则至少存在c?(x1,x2)使F?(c)?0
即f?(c)?1c,即cf?(c)?1,这与在(1,e)内xf?(x)?1矛盾!故在(1,e)内最多只有一个?使f(?)?ln?.结合(1)得,在(1,e)内有且仅有一个x,使f(x)?lnx.