15、（本题满分10分）求曲线e?xy?e在点（0，1）处的法线方程。 16、（本题满分10分）求曲线y?cosx与直线y?2,x?y?2?cosx x?017、（本题满分10分）讨论函数 f(x)?? 在 x?0 处的连续性。
?x?1 x?0及y轴所围成平面图形的面积。
?dy22??1?x?y?xy18、（本题满分10分）求微分方程?dx的特解。
??y|x?0?119、（本题满分20分）
曲线a2y?x2(0?a?1)将边长为1的正方形分成A、B两部分(如图所示)，其中A绕x轴旋转一周得到一旋转体,记其体积为VA，B绕y轴旋转一周得到另一旋转体,记其体积为VB.问当a取何值时,VA?VB的值最小.
20、（本题满分20分） 假定足球门的宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：该球员应在离底线多少米处射门才能获得最大的射门张角?？若球员以5.2米每秒的速度沿垂直于底线的方向向球门前进，求在距离底线2米处，射门张角的变化率。
21、（本题满分10分）设f(x)?22、证明题（本题满分10分）
ya2y?x21BoAa1x?x1ln(1?t)1dt(x?0)，求f(x)?f(). tx设函数f(x)在?0,3?上连续,在?0,3?内可导, f(0)?f(1)?f(2)?3，f(3)?1。试证 必存在一点???0,3?，使得f?????0.
《高等数学（一）》期末复习题答案
一、选择题
1、C 2、B 3、C 4、C 5、D 6、A 7、C 8、A 9、D 10、A 11、B 12、D 13、C 14、B 15、A 16、B 17、B 18、C 19、 A 20、B 21、C 22、D 23、A 24、B 25、 C 26、C
二、填空题 1、
1tx2、 2 ；3、 2 ；4、ex?C ；5、y?2e；6、0 2 ；
7、
322 ； 8、 1 ； 9、 2 ； 10、3arctanx?C； 11、y?x?C； 12、 2 4213、1 ； 14、?2xsinxdx ； 15、?1 ； 16、
12x1e?C ；17、y??e?2x?C；2218、y?e?C ； 19、ex?6 ；20、x
x1(lnx?1) ； 21、
2 ； 22、
2
11exdx 28、 2 23、 x(lnx?1)dx 24、 ；25、2 ；26、2? 27、x4e?1
x
三、解答题
1、（本题满分9分） 解：由题意可得，??x?1?0
?2?x?0 解得??x?1 x?2?所以函数的定义域为 [1，2]
2、（本题满分10分） 解：f?(0)?limx?0f(x)?f(0)
x?0?lim(x?1)(x?2)x?0(x?2014)?2014!
3、（本题满分10分）
解：方程两端对x求导，得y??x?x?6 将x?0代入上式，得y?(0,1)2?6
从而可得：切线方程为y?1?6(x?0) 即y?6x?1
4、（本题满分10分）
y1 x= yy =x20解：作平面区域，如图示 解方程组?1x
?y?x?y?x2得交点坐标：（0，0），（1，1）
1?x2x3?12?所求阴影部分的面积为：S??(x?x)dx=??=023??06
15、（本题满分10分）
解：
limf(x)?limx?2?3?f(1) ??x?1x?1x?1?limf(x)?lim3x?3?f(1) ?x?1∴f(x) 在x?1 处是连续的。
6、（本题满分10分）
解：将原方程化为 dy?(2x?3)dx 两边求不定积分，得 dy??2(2x?3)dx，于是y?x?3x?C ?将y|x?1?3代入上式，有3?1?3?C，所以C??1， 故原方程的特解为y?x?3x?1。
27、（本题满分9分） 解：由题意可得，??x?4?0
?5?x?0 解得??x?4
?x?5所以函数的定义域为 [4，5]
8、（本题满分10分） 解：f?(0)?limx?0f(x)?f(0)
x?0(x?n)?n!
?lim(x?1)(x?2)x?09、（本题满分10分）
解：方程两端对x求导，得2x?2(y?xy?)?6yy??0 将点（2，1）代入上式，得y?(2,1)??1
从而可得：切线方程为y?1??(x?2) 即x?y?3?0
10、（本题满分10分）
解：所求阴影部分的面积为S?x?10(ex?1)dx
1?(e?x)0
?e?2
11、（本题满分10分）
解：
limf(x)?limex?1?0?f(0) ??x?0x?0x?0?limf(x)?limx?0?f(0) ?x?0∴f(x) 在x?0 处是连续的。
12、（本题满分10分）
解：由方程(1?y)dx?(1?x)dy?0，得
22
dydx ?1?y21?x2两边积分：
dydx??1?y2?1?x2
得arctany?arctanx?C
x?C) 所以原方程的通解为：arctany?arctanx?C或y?tan(arctan13、（本题满分10分）
解：令F(x)?x?7x?4， F(x)在1,2上连续
5??F(1)??10?0，
F(2)?14?0
由零点定理可得，在区间(1,2)内至少有一个?，使得函数
F(?)??5?7??4?0，
即方程x?7x?4?0在区间(1,2)内至少有一个实根。 14、（本题满分10分） 解：f?(0)?limx?05f(x)?f(0)?lim(x?1)(x?2)x?0x?0(x?2015)?2015!
15、（本题满分10分）
解：方程两端对x求导，得ey??y?xy??0
y将点（0，1）代入上式，得y?(0,1)1??
e从而可得： 法线方程为y?ex?1