1．10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
2.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。 1） 3本一套放在一起。 2）两套各自放在一起。
3）两套中至少有一套放在一起。
3.调查某单位得知。购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。求下列事件的概率。
1）至少购买一种电器的； 2）至多购买一种电器的； 3）三种电器都没购买的；
4．仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。
一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？ 有标号1～n的n个盒子，每个盒子中都有m个白球k个黑球。从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。 7．从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。（1）放回 （2）不放回
8．设随机变量X的密度函数为f(x)?Ae求 (1）系数A, (2) P{0?x?1} (3) 分布函数F(x)。
9．对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[a,b]内。求体积的密度函数。
10．设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。
11．公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高
?x (???x???),
X?N(168,72),问车门的高度应如何确定？
12． 设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-??x???). 求：（1）系数A与B；
（2）X落在（-1，1）内的概率； （3）X的分布密度。
13．把一枚均匀的硬币连抛三次，以X表示出现正面的次数，Y表示正、反两面次数差的绝对值 ，求(X,Y)的联合分布律与边缘分布。 14．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为
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xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)
23求（1）A、B、C的值， （2）(X,Y)的联合密度， （3） 判断X、Y的独立性。
?Ae?(3x?4y),x?0,y?015．设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f(x,y)=?,
其他0,?求 （1）系数A；（2）落在区域D：{0?x?1,0?y?2}的概率。 16． 设(X,Y)的联合密度为f(x,y)?Ay(1?x),0?x?1,0?y?x， （1）求系数A，（2）求(X,Y)的联合分布函数。
17．上题条件下：（1）求关于X及Y的边缘密度。 （2）X与Y是否相互独立？ 18．在第16）题条件下，求f(yx)和f(xy)。
19．盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X的数学期望E(X)和方差D(X)。
20． 有一物品的重量为1克，2克，﹒﹒﹒，10克是等概率的，为用天平称此物品的重量
准备了三组砝码 ，甲组有五个砝码分别为1，2，2，5，10克，乙组为1，1，2，5，10克，丙组为1，2，3，4，10克，只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?
21． 公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒）。
22．设排球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？
23．一袋中有n张卡片，分别记为1，2，﹒﹒﹒，n，从中有放回地抽取出k张来，以X表示所得号码之和，求E(X),D(X)。
24．设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为：f (x ,y)=?求：① 常数k， ② E?XY?及D(XY).
?k,0?x?1,0?y?x
0,其他?25．设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互
独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。
26．一系统是由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且必须至少由 80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问n至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 0.95？
27．甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。
28．设总体X服从正态分布，又设X与S分别为样本均值和样本方差，又设
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Xn?1?N(?,?2)，且Xn?1与X1,X2,???,Xn相互独立，求统计量 Xn?1?XSn的分布。 n?129．在天平上重复称量一重为?的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布若以Xn表示n次称量结果的算术平均值，为使PXn?a?0.1?0.95成立，N(?,0.22)，
求n的最小值应不小于的自然数？
30．证明题 设A，B是两个事件，满足P(BA)?P(BA)，证明事件A，B相互独立。 31．证明题 设随即变量X的参数为2的指数分布，证明Y?1?e从均匀分布。
?2X??在区间（0，1）上服
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<数理统计>试题 一、填空题
1．设X1,X2,?,X16 是来自总体X~N(4,?2) 的简单随机样本，?2已知，令
4X?16116服从分布为 （必须写出分布的参数）。 X??Xi，则统计量
16i?1?2．设X~N(?,?)，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X中抽取的样本，则?的矩估计值为 。
3．设X~U[a,1]，X1,?,Xn是从总体X中抽取的样本，求a的矩估计为 。 4．已知F0.1(8,20)?2，则F0.9(20,8)? 。
2?都是参数a的无偏估计，如果有 成立 ，则称??有效的估计。?和??是比?5．?
6．设样本的频数分布为
X 0 1 2 3 4 频数 1 3 2 1 2
则样本方差s2=_____________________。
7．设总体X~N（μ，σ2），X1，X2，?，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则D（X）＝________________________。
8．设总体X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ未知，X1，X2，?，Xn为其样本。若假设检验问题为H0：?2＝1?H1：?2?1，则采用的检验统计量应________________。 9．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2, ?，xn）落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_____________________。
10．设样本X1，X2，?，Xn来自正态总体N（μ，1），假设检验问题为： H0：?＝0?H1：??0，则在H0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W应为______________________。 11．设总体服从正态分布N(?,1)，且?未知，设
X1,?,Xn为来自该总体的一个样本，记
1nX??Xini?1，则?的置信水平为1??的置信区间公式是 ；若已知1???0.95，
则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n至少要取__ __。
22X,X,?,XN(?,?)的一个简单随机样本，12n12．设为来自正态总体其中参数?和?均
n1n2X??XiQ??(Xi?X)2Hni?1i?1未知，记，，则假设0：??0的t检验使用的统计量
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是 。（用X和Q表示）
2X~N(?,?)，且?已知、?2未知，设X1,X2,X3是来自该总体的一个样本，13．设总体
1(X1?X2?X3)??2X?2?X?3?X222X?X?X??，X(1)?2?中是统计1231233则，，
量的有 。
14．设总体X的分布函数F(x)，设则
X1,X2,?,Xn为来自该总体的一个简单随机样本，
X1,X2,?,Xn的联合分布函数 。
X,?,Xn是
15．设总体X服从参数为p的两点分布，p（0?p?1）未知。设1来自该总体的一个样本，则的有 。
?X,?(Xii?1i?1nni?X)2,Xn?6,max{Xi},Xn?pX11?i?n中是统计量
16．设总体服从正态分布N(?,1)，且?未知，设X1,?,Xn为来自该总体的一个样本，记
1nX??Xini?1，则?的置信水平为1??的置信区间公式是 。
22Y~N(?,?)，且X与Y相互独立，设X1,?,Xm为来自总体X~N(?,?)YYXX17．设，
X的一个样本；设Y1,?,Yn为来自总体Y的一个样本；SX和SY分别是其无偏样本方差，
22SX/?X22S/?Y服从的分布是 。 则Y2218．设X?N?,0.3?2?，容量n?9，均值X?5，则未知参数?的置信度为0.95的置信
区间是 (查表Z0.025?1.96）
19．设总体X～N(?,?)，X1，X2，?，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则D（X）＝________________________。
20．设总体X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ未知，X1，X2，?，Xn为其样本。若假设检验问题为H0：?2＝1?H1：?2?1，则采用的检验统计量应________________。 21．设X1,X2,???,Xn是来自正态总体N(?,?)的简单随机样本，?和?均未知，记
n1n2X??Xi,???(Xi?X)2,则假设H0:??0的t检验使用统计量Tni?1i?122210