24. (本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式2|x?3|?|x?4|?2a （Ⅰ）若a?1，求不等式的解集；
（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围。
沁阳市2013年高三一模考前训练题
理科数学（一）答案
一．选择题
CBAAC AADAC AC 二.填空题 13. 15 14. 三.解答题
22?1 15. 16. k?1 32?a1?a2?a3?7，?17. 解：（1）由已知得:?(a1?3)?(a3?4)
?3a2.??2
2解得a2?2．设数列{an}的公比为q，由a2?2，可得a1?，a3?2q．
q2?2?2q?7，即2q2?5q?2?0， q1?q?2． ．由题意得q?1，2又S3?7，可知
解得q1?2，q2??a1?1．故数列{an}的通项为an?2n?1． （2）由于bn?lna3n?1，n?1 ，2，?，
由（1）得a3n?1?23n?bn?ln23n?3nln2 又bn?1?bn?3ln2n?{bn}是等差数列．
?Tn?b1?b2???bn n(b1?bn)2n(3ln2?3ln2) ?23n(n?1)?ln2.2?故Tn?3n(n?1)ln2． 2
121211???(?) Tn3ln2n(n?1)3ln2nn?1
所以
111211111?????[(1?)?(?)???(?)]T1T2Tn3ln2223nn?1?21(1?)3ln2n?1
21112所以?? ?????3ln2T1T2Tn3ln2
18.解：（I）首次出现故障发生在保修期内的概率为P?2?31? 5010（II）随机变量X1的分布列为 随机变量X2的分布列为
X1
P
2
3
1 25
3 509 10（III）EX1?1?139?2??3??2.86(万元) 25501019?2.9??2.79(万元) EX2?1.8?1010 ?EX1?EX2 所以应该生产甲品牌汽车。
19．解：（1）证明：证明：如图连接AC、OM，因为ABCD为菱形，所以点O为 AC的中点，又M为PC的中点，所以
在?PAC中，PA//OM,又OM?平面BDM,PA?平面BDM 所以PA//平面BDM
?????????????33?AC?(?3，,3,0),AD?(?2,0,0),DM?(0，，).22???????????? 设平面ADM的法向量为n?(x,y,1)，则?n?AD?0且n?DM?0，?????AC?n2????x?0,y??1;设直线AC和平面ADM所成角为?，则sin??????.4AC?n3c2a2?b21220. 解：（Ⅰ）∵e?,?e?2??,?2a2?3b2 23ac3∵直线l:x?y?2?0与圆x?y?b相切， ∴
22222?b,?b?2,b2?2 ∴a2?3
x2y2??1 ∵椭圆C1的方程是 32（Ⅱ）∵MP=MF2，
∴动点M到定直线l1:x??1的距离等于它到定点F1（1，0）的距离， ∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 ∴点M的轨迹C2的方程为 y?4x
2y12y2,y1),S(,y2) （Ⅲ）Q（0，0），设R(442y12y2?y12,y1),RS?(,y2?y1) ∴QR?(442∵QR?RS?0
2y12(y2?y12)?y1(y2?y1)?0 ∴
16∵y1?y2,y1?0，化简得
16) y125622∴y2?y1?2?32?2256?32?64
y125622当且仅当 y1?2,y1?16,y1??4时等号成立
y1∴y2??(y1?2y21222∵|QS|?()2?y2?(y2?8)2?64，又?y2?64
442∴当y2?64,y2??8时，|QS|min?85，故|QS|的取值范围是[85,??)
21. 解：（Ⅰ）f??x??aex，g??x??1，y?f?x?的图像与坐标轴的交点为?0,a?，y?g?x?的图像x1 a与坐标轴的交点为?a,0?，由题意得f??0??g??a?，即a?又∵a?0，∴a?1。
∴f?x??ex，g?x??lnx，∴函数y?f?x?和y?g?x?的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x?y?1?0,x?y?1?0∴两平行切线间的距离为2 。 （Ⅱ）由
x?m?f?x?x得x?m?x，故m?x?xex在x??0,???有解， xe令h?x??x?xex，则m?hmax?x?。当x?0时，m?0；
?1x??1?e?xex??1???x?ex，∵x?0， 当x?0时，∵h??x??1???2x??2x?∴12x?x?2?1??x?2,ex?1，∴??x?ex?2 2x?2x?1?1??x?ex?0 故h??x??1???2x?
即h?x??x?xex在区间?0,???上单调递减，故h?x?max?h?0??0，∴m?0 即实数m的取值范围为???,0? 。 （Ⅲ）解法一：
∵函数y?f?x?和y?g?x?的偏差为：F(x)?e?lnx，x??0,???
x
∴F?(x)?e?
x11x，设x?x0为F?(x)?e??0的解，则当x?(0,x0)，F?(x)?0； xx