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即有b?令h(t)?1252a?2a?3alna?2222252a?3alna．
22t?3tlnt(t?0)，则h?(t)?2t(1?3lnt)．于是
1当t(1?3lnt)?0，即0?t?e3时，h?(t)?0；
1当t(1?3lnt)?0，即t?e3时，h?(t)?0．
1?故h(t)在?0，e3???1?3?∞?为减函数， ?为增函数，在?e，???2?1?3于是h(t)在(0，?∞)的最大值为h?e3??e3．
??2（Ⅱ）设F(x)?f(x)?g(x)?3ax212x?2ax?3alnx?b(x?0)，
22则F?(x)?x?2a??(x?a)(x?3a)x(x?0)．
故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，?∞)为增函数，
于是函数F(x)在(0，?∞)上的最小值是F(a)?F(x0)?f(x0)?g(x0)?0． 故当x?0时，有f(x)?g(x)≥0，即当x?0时，f(x)≥g(x) 第15题. (2007安徽文)设函数f(x)??cosx?4tsin其中t≤1，将f(x)的最小值记为g(t)． （I）求g(t)的表达式；
（II）讨论g(t)在区间(?1，1)内的单调性并求极值． 答案：解：（I）我们有
f(x)??cosx?4tsin22x2cosx2?4t?t?3t?4，x?R，
32x2cos2x2?4t?t?3t?4
232
?sinx?1?2tsin?4t?t?3t?4 ?sinx?2tsinx?t?4t?3t?3 ?(sinx?t)?4t?3t?3．
2322232由于(sinx?t)≥0，t≤1，故当sinx?t时，f(x)达到其最小值g(t)，即
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g(t)?4t?3t?3．
3 （II）我们有g?(t)?12t2?3?3(2t?1)(2t?1)，???t?1． 列表如下：
t ????1，??? 2???12 ?1????，??22?? 12 ?1?1? ?，?2?g?(t) ? 0 0 ? 极大值g(t) ? ?1?g??? ?2???? 极小值g??1?? 2??? 由此可见，g(t)在区间??1，?????4． 2?1??1??11??1?和单调增加，在区间单调减小，极小值为，1?，g????????2，2??2??22??2?极大值为g????第16题. 设a≥0，f(x)?x?1?ln2x?2alnx(x?0)．
（Ⅰ）令F(x)?xf?(x)，讨论F(x)在(0，?∞)内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x?1时，恒有x?ln2x?2alnx?1 答案： （Ⅰ）解：根据求导法则有f?(x)?1?故F(x)?xf?(x)?x?2lnx?2a，x?0， 于是F?(x)?1?列表如下：
x F?(x)(0，2)? 2x?x?2x，x?0，
2lnxx?2ax，x?0，
2 0 极小值(2，?∞)? F(x)? F(2) ? 故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2，?∞)内是增函数，所以，在x?2处取得极小值
F(2)??2 2l?n2a．2（Ⅱ）证明：由a≥0知，F(x)的极小值F(2)?2?2ln2?2a?0．
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于是由上表知，对一切x?(0，?∞)，恒有F(x)?xf?(x)?0． 从而当x?0时，恒有f?(x)?0，故f(x)在(0，?∞)内单调增加． 所以当x?1时，f(x)?f(1)?0，即x?1?ln2x?2alnx?0． 故当x?1时，恒有x?ln2x?2alnx?1．
2ax?a?1x?122第17题. (2007天津理)已知函数f(x)?(x?R)，其中a?R．
（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，求函数f(x)的单调区间与极值． 答案：（Ⅰ）解：当a?1时，f(x)?2(x?1)?2x·2x(x?1)2222xx?1222，f(2)?456，
又f?(x)??2?2x2(x?1)，f?(2)??25．
45625所以，曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y?即6x?2y?32?0．
2a(x?1)?2x(2ax?a?1)(x?1)2222??(x?2)，
（Ⅱ）解：f?(x)???2(x?a)(ax?1)(x?1)22．
由于a?0，以下分两种情况讨论． （1）当a?0时，令f?(x)?0，得到x1??x 1a，x2?a．当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
1a1???∞，???a??? ?1??，a???a?a (a，?∞)f?(xf(x)??0 极小值 ? ? 0 极大值 ? ? ? 所以f(x)在区间??∞，?1a1??1?，内为减函数，在区间(a，?∞)???，a?内为增函数． a??a???1??1?2，且， f???a???a??a?函数f(x)在x1??处取得极小值f??
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函数f(x)在x2?1a处取得极大值f(a)，且f(a)?1．
1a（2）当a?0时，令f?(x)?0，得到x1?a，x2??x ，当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
1??a，???a??? 1a??∞，a?? ? ??1a ? ?1???，+∞??a?f?(xf(x)0 极大值 0 极小值 ? ? ? 所以f(x)在区间(?∞，a)，??1???，+∞?内为增函数，在区间?a，??内为减函数． aa???函数f(x)在x1?a处取得极大值f(a)，且f(a)?1． 函数f(x)在x2??1a处取得极小值f????1??1?2，且f??????a． a??a?2第18题. (2007天津理)已知函数f(x)?2ax?a?1x?12(x?R)，其中a?R．
（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，求函数f(x)的单调区间与极值． 答案：（Ⅰ）解：当a?1时，f(x)?2(x?1)?2x·2x(x?1)2222xx?1222，f(2)?456，
又f?(x)??2?2x2(x?1)，f?(2)??25．
45625所以，曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y?即6x?2y?32?0．
2a(x?1)?2x(2ax?a?1)(x?1)2222??(x?2)，
（Ⅱ）解：f?(x)???2(x?a)(ax?1)(x?1)22．
由于a?0，以下分两种情况讨论． （1）当a?0时，令f?(x)?0，得到x1??x 1a，x2?a．当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
1a1???∞，???a?? ?1??，a???a?a (a，?∞) taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区 f?(xf(x)??? 0 极小值 ? ? 0 极大值 ? ? ? 所以f(x)在区间??∞，?1a1??1?，内为减函数，在区间?，a(a，?∞)???内为增函数． a?a????1??1?2，且f??????a， a??a?函数f(x)在x1??1a处取得极小值f??函数f(x)在x2?处取得极大值f(a)，且f(a)?1．
1a（2）当a?0时，令f?(x)?0，得到x1?a，x2??x ，当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
1??a，???a??? 1a??∞，a?? ? ??1a ? ?1???，+∞??a?f?(xf(x)0 极大值 0 极小值 ? ? ? 所以f(x)在区间(?∞，a)，??1???，+∞?内为增函数，在区间?a，??内为减函数． aa???函数f(x)在x1?a处取得极大值f(a)，且f(a)?1． 函数f(x)在x2??1a处取得极小值f????1??1?2，且f??????a． a??a?第19题. (2007福建理)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a2元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12?x)万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 答案： 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：
L?(x?3?a)(12?x)，x?[9，11]．
22（Ⅱ）L?(x)?(12?x)?2(x?3?a)(12?x)
?(12?x)(1?8a2?x．3