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由
x?1x?0，得x?1
'因为当0?x?1时，g?x??0，g?x?单调递减；当1?x???时，g'?x??0，g?x?单调递增，所以
在x?1处g?x?有极小值1 故当x?1时，g?x??g?1??1，
从而有x?lnx?1，亦即x?lnx?1?lnx 故有?1???1?1???ln1????恒成立。 n?n??'所以f?2x??f?2??2f?x?，原不等式成立。
（Ⅲ）对m?N，且m?1 1??有?1??m??m?1?2?1?k?1?m?1??C?C????Cm?????Cm?????Cm??
?m??m??m??m?0m1m2km2kmm?m?1??1?m?m?1???m?k?1??1?m?m?1??2?1?1??1?1??????????????
2!k!m!?m??m??m??2?1?1?1?1??2??k?1?1?1??m?1?1????1?1??1????1??1????????????? 2!?m?k!?m??m??m?m!?m??m?12!?13!???1k!???1m!?2? ???1m?m?1??2?12?1?13?2???1k?k?1?
1??11?1?1???1?1?2??1??????????????????
2??23???k?1k??m?1m??3?1mkm?3
km1??1??又因C???0?k?2,3,4,?,m?，故2??1???3
m??m??1??∵2??1???3，从而有2n?m??nm1??1???k??3n成立，
?k?1?knk1??即存在a?2，使得2n???1???3n恒成立．
k?k?1?
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第24题. (2007重庆理)已知函数f(x)?ax4lnx?bx4?c(x?0)在x?1处取得极值?3?c，其中a，b为常数．
（Ⅰ）试确定a，b的值；
（Ⅱ）讨论函数f(x)的单调区间；
（Ⅲ）若对任意x?0，不等式f(x)≥?2c2恒成立，求c的取值范围． 答案：解：（I）由题意知f(1)??3?c，因此b?c??3?c，从而b??3． 又对f(x)求导得
3413f?(x)?4axlnx?ax??4bx
x?x(4alnx?a?4b)．
3由题意f?(1)?0，因此a?4b?0，解得a?12．
（II）由（I）知f?(x)?48x3lnx（x?0），令f?(x)?0，解得x?1． 当0?x?1时，f?(x)?0，此时f(x)为减函数； 当x?1时，f?(x)?0，此时f(x)为增函数．
因此f(x)的单调递减区间为(0，?∞)． 1)，而f(x)的单调递增区间为(1，2（III）由（II）知，f(x)在x?1处取得极小值f(1)??3?c，此极小值也是最小值，要使f(x)≥?2c2（x?0）恒成立，只需?3?c≥?2c．
即2c?c?3≥0，从而(2c?3)(c?1)≥0， 解得c≥322或c≤?1．
?3?所以c的取值范围为(??，?1]??，???．
2??
导数的应用
1第1题. 曲线y?eＡ．
92e
22x在点(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
22 Ｂ．4e Ｃ．2e
2 Ｄ．e
2答案：Ｄ
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第2题. 设函数f(x)?ln(x?a)?x2．
（I）若当x??1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （II）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln答案：解：
每个点落入M中的概率均为p???1?4?14e2．
．
依题意知X~B?10000，?． （Ⅰ）EX?10000?14?2500．
（Ⅱ）依题意所求概率为P??0.03?????4?1?0.03?，
10000?XX??P??0.03??4?1?0.03??P(2425?X?2575)
10000??2574??l?24262574C10000?0.25?0.75ll10000?l
2425l10000??Cl?0?0.25?0.75l10000?l??Cl?0l10000?0.25?0.75l10000?l
?0.9570?0.0423?0.9147．
第3题. （2007海南、宁夏文）曲线y?e在点(2，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
94x2Ａ．
e
2 Ｂ．2e
2Ｃ．e
2Ｄ．
e22
答案：Ｄ
第4题. （2007湖南理）函数f(x)?12x?x在区间[?3，3]上的最小值是 ． 答案：?16
3?上的最大值与最小值分别为M，m，则第5题. (2007江苏)已知函数f(x)?x?12x?8在区间??3，33M?m?_____．
答案：32
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第6题. (2007江西文)设p:f(x)?x3?2x2?mx?1在(??，??)内单调递增，q:m≥（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｃ．充分必要条件 答案：Ｃ
第7题. (2007江西文)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（ ）
43，则p是q的
Ｂ．必要不充分条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
Ｂ．h1?h2?h3 Ｄ．h2?h4?h1
Ａ．h2?h1?h4 Ｃ．h3?h2?h4 答案：Ａ 第8题. (2007全国II文)已知函数f(x)?13ax?bx?(2?b)x?1
32在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得极小值，且0?x1?1?x2?2． （1）证明a?0；
（2）求z?a?2b的取值范围．
2答案：解：求函数f(x)的导数f?(x)?ax?2bx?2?b．
（Ⅰ）由函数f(x)在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得极小值，知x1，x2是f?(x)?0的两个根． 所以f?(x)?a(x?x1)(x?x2)
当x?x1时f(x)为增函数，f?(x)?0，由x?x1?0，x?x2?0得a?0． ??（Ⅱ）在题设下，0?x1?1?x2?2等价于???f?(0)?0?2?b?0?f?(1)?0 即?a?2b?2?b?0．
?4a?4b?2?b?0f?(2)?0?
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?2?b?0?化简得?a?3b?2?0．
?4a?5b?2?0?此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2?b?0，a?3b?2?0，4a?5b?2?0． 所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：A?，?，B(2，2)，C(4，2)．
?77??46?z在这三点的值依次为
167，，68．
b
B(2，2)
C(4，2)
?16?所以z的取值范围为?，8?．
?7?2 1 O
?46?A?，? ?77?2 4
a
第9题. (2007山东文)设函数f(x)?ax2?blnx，其中ab?0．
证明：当ab?0时，函数f(x)没有极值点；当ab?0时，函数f(x)有且只有一个极值点，并求出极值． 答案：证明：因为f(x)?ax2?blnx，ab?0，所以f(x)的定义域为(0，??)．
bx2ax?bx2 f?(x)?2ax??．
当ab?0时，如果a?0，b?0，f?(x)?0，f(x)在(0，??)上单调递增；
如果a?0，b?0，f?(x)?0，f(x)在(0，??)上单调递减．
所以当ab?0，函数f(x)没有极值点． 当ab?0时，
?2a?x???b????x?2a??x?b??2a?
f?(x)?
令f?(x)?0，
b2ab2a
将x1????(0，??)（舍去），x2??(0，??)，
当a?0，b?0时，f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：