第三章 不定积分
第三章 不定积分
本章主要知识点： ? ? ?
不定积分的意义，基本公式 不定积分的三种基本方法 杂例
一、不定积分的意义、基本公式
不定积分基本特点是基本公式较多，灵活善变，复习此章节主要诀窍在于：基本公式熟练，基本题型运算快捷，有一定题量的训练。 1．性质
??(f )x ??f(x)d?xd??f(x)dx??f(x)dx
?dF(x)?F(x)?C ?f?(x)dx?f(x)?C ?f2．基本公式
1n?11x?c(n??1)，?dx?ln|x|?c
xn?1axx?c，?exdx?ex?c （2）?adx?lna(n)dx?f(n?1)(x)?C
（1）?xndx? （3）?sinxdx??cosx?c，?cosxdx?sinx?c，
?sec2xdx?tanx?c，?csc2xdx??cotx?c
（4）? 78 / 26
xdx?arcsin?c，
aa2?x21第三章 不定积分
（5）?（6）?（7）?11a?xdx?ln||?c a2?x22aa?x1x2?adx?ln|x?x2?a|?c
11x?arctan?c 22a?xaa二、不定积分的三种基本方法 1．凑微分法（第一类交换法） 基本原理：?(x)dx?d(??(x)dx)。 一些常见的固定类型
1f(ax?b)dx?f(ax?b)d(ax?b) ??a1?x?xf(e)edx?f(e?x)de?x ???1222xf(x)dx?f(x)dx ??21n?1nxf(x)dx?f(xn)dxn ??n1?xf(lnx)dx??f(lnx)dlnx
?sinxf(cosx)dx???f(cosx)dcosx ?cosxf(sinx)dx??f(sinx)dsinx
1?x2?1?f??dx????x??1??1?f??d?? ?x??x?2sec?xf(tanx)dx??f(tanx)dtanx
?tanxsecxf(secx)dx??f(secx)dsecx 等等。
例3.1．?x(2x2?1)2007dx 解：原式=
11220072(2x?1)d(2x?1)?(2x2?1)2008?c ?48032 79 / 26
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例3.2．?cosxe3sinx?1dx?13sinx?113sinx?1ed(3sinx?1)?e?c 3?3例3.3．?x2sin(5x3?7)dx
113333sin(5x?7)dx?sin(5x?7)d(5x?7) ??3151 ??cos(5x3?7)?C
151lnxdx 例3.4．?x2lnx?1lnx12u?1?1dlnxu?lnx?du 解：原式??2lnx?122u?1解：原式?
?1?(1?21)du2u?1?1u?1ln2u?1?C?1lnx?1ln2lnx?1?C
2424例3.5．?xdx 44?x1x2112解：原式=?222dx?arctan?C
4222?(x)例3.6．?1dx
cos2x(2tan2x?1)sec2x11dx?dtanx?arctan(2tanx)?C 解：原式???1?2tan2x1?2tan2x2sin2(2x)例3.7．?dx
x解：原式?2?sin22xdxu?2x1 =x?sin(4x)?C
4111(1?cos2u)du?u?sin(2u)?C 2?24例3.8．?eex?xdx
xxx解：原式??ee?exdx??eedex?ee?C
x3?3x?2dx 例3.9．?x?2解：利用综合除法知
x3?3x?212?x2?2x?7?
x?2x?12 80 / 26
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原式??(x2?2x?7?121)dx?x3?x2?7x?12lnx?2?C x?23x6?x3?x?3dx 例3.10．?2x?12x?2)dx 2x?111111d(x2?1)?2?dx ?x5?x3?x2?x??2532x?11?x2111 ?x5?x3?x2?x?ln(1?x2)?2arctanx?C
53211dx,?dx 例3.11．?sinxcosx解：原式??(x4?x2?x?1?解：
1sinxdcosx11?cosxdx?dx?????sinx?sin2x?1?cos2x2ln1?cosx?C
1cosxdsinx11?sinxdx?dx???cosx?cos2x?1?sin2x2ln1?sinx?C
注：此例对于三角函数相当重要，请熟练掌握。 1dx *例3.12．?2?cosx2?cosxdx 解：原式??(2?cosx)(2?cosx)2?cosx2dsinx??dx?dx??4?cos2x?3?sin2x 4?cos2xdtanx1sinx2sec2x1sinx?2?arctan() ?? dx?arctan()22?4tanx?34secx?13333 ?? ?d2tanx1sinx?arctan() 22(2tanx)?(3)331tanx1sinxarctan(2)?arctanx()?C 3333sinxdx ?sinx?coxs1(sinx?cosx?sinx?cosx)11?d(cosx?sinx)dx=?dx??解：原式=??
2sinx?cosx22sinx?cosx11 =x?lnsinx?cosx?c
22cosxdx 例3.14．?2sinx?3cosx例3.13．
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解：令f(x)?2sinx?3cosx，则f?(x)?2cosx?3sinx,cosx?32f(x)?f?(x)321313dx?x?ln|2sinx?3cosx|?C 原式＝?f(x)131332f(x)?f?(x) 1313例3.15．?1dx 222sinx?cosxsec2x11解：原式＝?dx?dtanx?arctan(2tanx)?C 22?2tanx?12tanx?12例3.16．?tan4xdx
解：原式=?[tan4x?tan2x?(tan2x?1)?1]dx
=?tan2x(1?tan2x)dx??sec2xdx??dx=?tan2xdtanx?tanx?x?c
1 =tan3x?tanx?x?c
32x?3dx 例3.17．?2x?2x?22(x?1)?5d(x?1)21dx解：原式=?=?5dx 222??(x?1)?1(x?1)?1(x?1)?1 =ln(x2?2x?2)?5arctan(x?1)?c 例3.18．?解：原式=?x3?2x?x2dx
1d(x?1)21??d(x?1) dx=?22224?(x?1)4?(x?1)4?(x?1)x?1?1 =-4?(x?1)2?arcsin例3.19．?dx1?ex2x?1?c 2
x2x2解：原式=?1?e?ex21?e1?e1dx 例3.20．?（2x?1)(3x?2)323(2x?1)?2(3x?2)dx??dx dx=??解：原式=??3x?22x?1(2x?1)(3x?2) 82 / 26
dx=x?2?dex2x2=x?2ln(1?e)?c
x2