第三章 不定积分
（8）?cosx2?cos2xdx
（9）?x21?xdx x4（10）??x2?1x?2dx （11）?1cos4xdx （12）?tanxcosxdx
（13）?lnxx1?lnxdx （14）?xexex?1dx
（15）?xx2a?xdx （16）?x2a2?x2dx （17）?xln2xdx
（18）?sinxlntanxdx （19）?arctanxdx
（20）?(arcsinx)2dx
（21）?xsinxdx
历年考试真题
93 / 26
（29）?1x?1?4x?3
（30）?sinxsin3x?cos3xdx （31）?x?2x21?x2dx
（32）?xln?4?x2?dx （33）?arctanxx2?1?x2?dx （34）?e2x(tanx?1)2dx （35）?xlnx?1?x2?2dx
（36）?sin2x1?cos4xdx
（37）??|1?x|?|1?x|?dx
（38）?max?x2,x3?dx （39）?ex1?sinx1?cosxdx
（40）?x?1x?1?xex?dx （41）???x?3??x?1?dx ?x?1x?3???第三章 不定积分
1.（2001）不定积分?11?x2dx?（ ）
A. 1 B. 11?x21?x2?C C. arcsinx D. arcsinx?C
2. （2001）计算?e2x1?exdx。 3. （2002）设f(x)有连续的导函数，且a?0,1，则下列命题正确的是（ A.
?f?(ax)dx?1af(ax)?C B. ?f?(ax)dx?f(ax)?C C. (?f?(ax)dx)??af(ax) D. ?f?(ax)dx?f(x)?C
4. （2002）求积分?xarcsinx21?x4dx
5. （2003）若F?(x)?f(x),f(x)连续，则下列说法正确的是（ ）
A. ?F(x)dx?f(x)?c B. ddx?F(x)dx?f(x)dx C.
?f(x)dx?F(x)?c D. ddx?F(x)dx?f(x) 6. （2003）?xlnxdx 37. （2004）求不定积分?arcsinx1?x2dx?_____
8. （2004）设f(x)的一个原函数为exx，计算?xf?(2x)dx
9. （2005）若?f(x)dx?F(x)?C,则?sinxf(cosx)dx?() A. F(sinx)?C B. ?F(sinx)?C C. F(cosx)?C D. ?F(cosx)?C 10. （2005）计算?tan3xsecxdx
本章测试
1．f(x) 的一个原函数为
1x，则f?(x)?_________。 94 / 26
） 第三章 不定积分
2．?dcosx?________。 3．?(x3ex)?dx?______,
x2?c，则?sinxf(cosx)dx?_______。 4. 已知?f(x)dx?1?x25. ?(x?1)lnxdx 6. ?7. ?8.?lnxxdx
dxx24?x2
sin2xdx cos2x1?sin2xdx 9.?1?cos2x10.?1?sinxdx 11.?(xlnx)(lnx?1)dx 12.?13.?32x2?4dx 2xcosxdx
2sinx?cosxsinx， x14.已知f(x)的一个原函数为
证明：?x3f?(x)?x2cosx?4xsinx?6cosx?C 15.已知函数f(x)有二阶连续导数， 证明：?xf??(2x?1)dx?16.?ln(x?x2?1)dx
x1f?(2x?1)?f(2x?1)?C 24 95 / 26
第三章 不定积分
单元练习题3答案
x3ex?1?23x1．cos2x 2.??x?c 3.tanxln?1?? 4.2 5.e? 6.Ｃ
3x?x?41317.解：（１）原式=??1?3xd(1?3x)=?(1?3x)3?C
34（２）原式=2?11??x?2dx?2arctanx?C
1（３）原式=?arctanxd?arctanx??arctan2x?C
2d?x?x?1?x?21x?x?1dx??（４）原式=??arctan?C ?22?1x?x2?x?x??22?1（５）?(tan3x?tanx)dx??tanxdx??tanxdtanx??dcosx cosx?0.5tan2x?ln|cosx|?C
（６）?dxex1?e?2x???de?x1?e?2x??ln(e?x?1?e?2x)?C
（７）原式=?11d(x?)x?22?c?arcsin(2x?1)?C?arcsin1112?(x?)242dsinx2?1?2sin2x??dsinx3?2sin2x?
（8）原式=?1d2sinx ?222(3)?(2sinx)?16sinxarcsin?C
321x2)dx??x?ln|x?1|?C （9） 原式=?(x?1?x?1213123)dx?x4?x3?x2?6x?13ln|x?2|?C （10）原式=?(x3?2x2?3x?6?x?24321（11）原式=?sec4xdx??(1?tan2x)dtanx?tanx?tan3x?C
31?sinxdcosxdx????2cos2x?C （12）原式=?3/23/2cosxcosx 96 / 26
第三章 不定积分
lnxu1d?lnx?u?lnx?du??(1?u?)d(u?1)
1?lnx1?u1?u3322 =(u?1)2?21?u?C?(1?lnx)2?21?lnx?C
33（13）原式=?（14）原式=2?xdex?1?2xex?1?2?ex?1dx
t?ex?1x??2xe?1?2?t2x?ln(t?1)2tdt 21?t
1xxxx?2xe?1??4(1?d)t?2xe?1?4e?1?4arctean? ?C12t?1xx?u2,x?2au2?xu2, ?u，得
2a?x2a?x（15）令
2au2?4aux?dx?du ,2221?u(1?u)2au2?4auu32则原式=?udu??8a?du
1?u2(1?u2)2(1?u2)3tan3t??8a?sec2tdt 4sectsin2t242324costdt??8asintcostdt??2asint?C（代入略） ??8a?3?costa2sin2ta2a2a2acostdt??(1?cos2t)dt?t?sin2t?C (16) 原式 x?asint?acost224a2xx2a?x2?C ?arcsin?2a28816（17）原式t?x?tln2t22tdt?8?t2ln2tdt??ln2dt3?t3ln2t??t2lntdt
333u?tant281681616 ?t3ln2t??lntdt3?tln2t?t3lnt??t2dt
3939981616 ?t3ln2t?t3lnt?t3?C
39273（18）解：原式???lntanxdcosx=?cosxlntanx??cosx?cotx?sec2xdx
1dx sinx11?cosx|?C ??cosxlntanx?ln|21?cosx ??cosxlntanx?? 97 / 26