第三章 不定积分
例3.45．?xarctan2xdx
112x22dx 解：原式??arctan2xdx?xarctan2x??2221?4x1214x2?1?1dx ?xarctan2x??241?4x2111?x2arctan2x?x?arctan2x?c 248例3.46．?(x?1)arcsinxdx 解：原式?x?sint?(sint?1)tcostdt?1tsin2tdt??tcostdt ?21tdcos2t??tdsint 4?tcos2t1????cos2tdt?tsint??sintdt
4411??tcos2t?sin2t?tsint?cost?C
4811??arcsinx?(1?2x2)?x1?x2?xarcsinx?1?x2?C
44??4．四类杂例
（１）含绝对值的不定积分 例3.47．?xdx
?x2?c1,x?0??2解：原式?F(x)??2，F(x)可导必连续：c1?c2，
??x?c,x?02??2?x2??c1,x?0??2故原式?F(x)??2 。
??x?c,x?01??2例3.48．?x2?2x?3dx
?x2?2x?3,x??1?解： f(x)?x2?2x?3?(x?3)(x?1)???x2?2x?3,?1?x?3，
?x2?2x?3,x?3? 88 / 26
第三章 不定积分
原式?F(x)???132?3x?x?3x?c1,x??1??1f(x)dx???x3?x2?3x?c2,?1?x?3 ，
?3?132?3x?x?3x?c3,x?3?1?1??1?3?c??1?3?c21??33由F(x)可导知，成立?，
2727???9?9?c??9?9?c32?33?10?c???c1??23解得：? ，
?c?18?c?18?10?c?44?c3211?33??132x?x?3x?c1,x??1?3?10?1所以，F(x)???x3?x2?3x??c1,?1?x?3 。
3?344?132x?x?3x??c1,x?3?33?（2）分段函数积分
x?1?x,?例3.49．f(x)??2x?1,1?x?2，求?f(x)dx 。
?x?1,x?2?解：F(x)???x2x?1?2?c1,??f(x)dx??x2?x?c2,1?x?2，
?2?x?x?c3,x?2??2?1??c?2?c2由F(x)可导知，成立?21
??6?c2?4?c331解得：c2???c1，c3?2?c2??c1
22 89 / 26
第三章 不定积分
?x2x?1?2?c1,?3?所以，?f(x)dx??x2?x??c1,1?x?2 。
2??x21?x??c1,x?2?22?（3）递推关系 例3.50．In??sin2nxdx 解：In???sinn?1xdcosx
In??sinn?1xcosx???n?1?cos2xsinn?2xdx
In??sinn?1xcosx??n?1??sinn?2xdx??n?1??sinnxdx
nIn??sinn?1xcosx??n?1?In?2
?n?1?I ?n?1,2,......? 1In??sinn?1xcosx?n?2nn例3.55．In??tan2nxdx
解：In??(tan2nx?tan2n?2x)dx??tan2(n?1)dx
In??tan2n?2xdtanx??tan2(n?1)dx
In?1tan2n?1x?In?1 ?n?1,2,......? 2n?1例3.56．I??sec3xdx
2xsecxdx解：I??secxdtanx?secxtanx??tan
＝secxtanx?I??secxdx，
111?sinx?C I?secxtanx?ln241?sinx（4）一些特殊的变换
例3.57．?解：令t? 90 / 26
1dx 62x(1?x)1， x第三章 不定积分
t6?1?原式???2?dt???dt 21??t1?t????1?2??t?15131????t?t?t?arctant?C ????t4?t2?1?dt2?531?t????111111???arctan?C 5x53x3xxt6例3.58．?1?xdx 1?x1?x1?t21?x222解：令t?，解得：t?，t?xt?1?x，x?，则 21?x1?t1?xdx??4tdt 22(1?t)?4t2原式???dt22(1?t)t?tanu?4tan2u2??secudu 4secu??4?sin2udu??2?(1?cos2u)du??2u?sin2u?C。
（5）一些特殊积分 例3.59．?e2x(tanx?1)2dx
解：原式＝?e2xsec2xdx?2?e2xtanxdx??e2xdtanx?2?e2xtanxdx ＝e2xtanx?2?e2xtanxdx?2?e2xtanxdx?e2xtanx?C
1x?1例3.60．?(1?x?)exdx
x1x?1解：原式＝?edx??x(1?2)exdx
x1111x?x?x?x?1 ＝?exdx??xexd(x?)??exdx??xdex
xx?1x ＝?ex?1xdx?xex22x?1x??ex?1xdx?xex?1x?C
例3.61．?(x2?1)edx
解：原式＝?xde??edx?xe??edx??edx?xe?C
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x22x22x22x22x22x22第三章 不定积分
单元练习题3
1．?dcos2x? 。
2．已知f(cosx)?sin2x，则?f(x?1)dx? 。 3．
d?1?3tanxln(1?)dx?? 。 ??dx?x?h?04．已知?f(x)dx?1?x2?C，则limf(h)?f(?h)? 。
h5．已知?xf(x2)dx?xex，则f(x)? 。 6．下列积分谁正确（ ）
1a?1x?C?a为常数? B．?xsinx2dx??cos2x2?C A．?xadx?a?1111dx?ln3?2x?C D．?lnxdx??C C．?3?2x2x7．计算下列不定积分 （1）?1?3xdx
3
xearctxan（22） ?dx 3(1?x22)（23）?sin?lnx?dx （24）?e2xsin2xdx
arctanexdx （25）?xexdx （26）?2cosx（2）?（3）?1x(1?x)dx
arctanxdx
1?x21?x2dx （4） ?41?x
（5）?tan3xdx （6）?（7）?
11?e2xdx
xex（27）?dx
(1?x)2（28）?1dx
sinxcos4x1x(1?x)dx
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