(1?x2)lnx ⅰ> y?x ; ⅱ> y? . [1] P158 E4
sinx?cosxx例6 设函数u?u(x,y)可微. 在极坐标变换x?rcos? , y?rsin?下 , 证明
1??u???u???u???u? ???2?????????y??. [1] P157 E2 ?r???xr????????22例7 设函数f(u)可微 , z?yf(x?y). 求证
2222 y2?z?z?xy?xz. ?x?y二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .
例8 z?exysin(x?y). 利用全微分形式不变性求dz, 并由此导出
?z?z和. ?x?y[1] P160 E5
Ex [1]P160—161 1—5.
三. 高阶偏导数:
1. 高阶偏导数的定义、记法： 例9 z?ex?2y?3z. [1]P167 E1 , 求二阶偏导数和2?y?xyx例10 z?arctg. 求二阶偏导数. [1]P167 E2
2. 关于混合偏导数: [1]P167—170.
3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 , [1]P171
?2zx?2z例11 z?f(x , ). 求2和. [1]P171 E3
y?x?x?y 4. 验证或化简偏微分方程:
?2z?2z?0. ( Laplace 方程 ) 例12 z?lnx?y. 证明2 +
?x?y222 156
例13 将方程x?u?u?y?0变为极坐标形式. ?y?xx2?y2 , ??arctgy. x解 x?rcos? , y?rsin?. ? r?
?r??xxx2?y2???y?ry??xx??2 , , ? , ?2. ?xr?yr?yrr?u?u?r?u??x?uy?u?u?u?r?u??y?ux?u????2???? , ; ?x?r?x???xr?rr???y?r?y???yr?rr2???u?uxy?ux2?uxy?uy2?ux2?y2?u?u因此, x . ?y???????y?xr?rr2??r?rr2??r2????方程化简为
?u?0. ??t?x?by 将方程 例14 试确定a和b, 利用线性变换 s?x?ay , ?2u?2u?2u ?4?32?0 2?x?y?x?y?2u?0. 化为
?s?t解
?u?u?s?u?t?u?u?u?u?s?u?t?u?u???????a?b. , ?x?s?x?t?x?s?t?y?s?y?t?y?s?t2222??u?u??u?s?u?t?u?s?u?t+++2= ????2??s?t??s?x?s?t?x?t?s?x?t?x?2u? =2?x?x?2u?2u?2u =2+2+.
?s?t?t2?s?2u? =
?x?y?y2222??u?u??u?s?u?t?u?s?u?t+++2= ????2??s?t??s?y?s?t?y?t?s?y?t?y?2u?2u?2u =a2+(a?b)+b. 2?s?t?s?t
157
22?2u?2u???u?u?2?u2?u =+2ab+b. ?b????a?a222?s?t?t??s?y?y??s?t?2u?2u?2u因此 , ?4?32?
?x?y?x2?y2?2u?2u2?u ?(1?4a?3a) + (2?4a?4b?6ab) + (1?4b?3b). 22?s?t?s?t22令 1?4a?3a?0, 1?4b?3b?0 , ? a?? , b??1或a??1 , b??2131 3?2u?2u?2u?2u?0. 或 ……, 此时方程2?4?32?0化简为
?s?t?x?y?x?y
Ex [1]P183 1，2 .
§3 方向导数和梯度 （ 3 时 ）
一． 方向导数：
1． 方向导数的定义：
定义 设三元函数f在点P0(x0,y0,z0)的某邻域?(P0)?R内有定义.l为从点P0出发的射线.P(x,y,z)为l上且含于?(P0)内的任一点,以?表示P与P0两点间的距离.若极限 lim???03f(P)?f(P0)??lim???0?lf?
存在,则称此极限为函数f在点P0沿方向l的方向导数,记为
?f
?l
P0
或fl(P0)、
fl(x0,y0,z0).
对二元函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0), 可仿此定义方向导数. 易见,
?f?f?f、 和 是三元函数f在点P0分别沿X轴正向、Y轴正向和Z轴?x?y?z158
正向的方向导数 .
例1 f(x,y,z)=x?y2?z3. 求f在点P0( 1 , 1 , 1 )处沿l方向的方向导数,其中
ⅰ> l为方向( 2 , ?2 , 1 ); ⅱ> l为从点( 1 , 1 , 1 )到点( 2 , ?2 , 1 )的方向.
x?1y?1z?1令?????t ( ?0). 即 解 ⅰ> l为方向的射线为2?21 x?2t?1 , y??2t?1 , z?t?1 , ( t?0 ).
f(P0)?f( 1 , 1 ,1 )?3,
f(P)?f( 2t?1 , ?2t?1 , t?1 )? ( 2t?1 )?( ?2t?1 )2?( t?1 )3?t3?7t2?t?3
??(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2?(2t)2?(?2t)2?t2?3t.
?f因此 ,
?lP0?lim???0f(P)?f(P0)?t3?7t2?t1?lim?. t?0?3t3 ⅱ> 从点( 1 , 1 , 1 )到点( 2 , ?2 , 1 )的方向l的方向数为( 1 , ?3 , 0 ),l方向的 射线为 x?t?1 , y??3t?1 , z?1 , ( t?0 ).
f(P)?f(t?1 , ?3t?1 , 1 )?9t2?5t?3, f(P0)?f( 1 , 1 ,1 )?3;
??(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2?t2?(?3t)2?10t. ?f因此 ,
?l?lim???0f(P)?f(P0)P0??lim?t?09t2?5t10t??510.
2. 方向导数的计算:
Th 若函数f在点P0(x0,y0,z0)可微, 则f在点P0处沿任一方向l的方向导数都存在, 且 fl(P0)?fx(P0)co?s +fy(P0)cos? +fz(P0)cos?,
其中cos?、cos?和cos?为l的方向余弦. ( 证 ) [1]P163
对二元函数f(x,y), fl(P0)?fx(P0)cos? +fy(P0)cos?, 其中?和?是l的方向角.
注：由fl(P0)?fx(P0)cos? +fy(P0)cos? +fz(P0)cos?
159
=?fx(P0), fy(P0) , fz(P0)???cos? , cos?, cos??,
可见, fl(P0)为向量?例2 ( 上述例1 )
fx(P0), fy(P0) , fz(P0)?在方向l上的投影.
212, cos?=?, cos?=.
333z?1解 ⅰ> l的方向余弦为cos?=
222?(?2)2?12y?1? fx(P0)=1 , fy(P0)=2y因此 ,
?2 , fz(P0)=3z2?3.
?f2211=fx(P0)cos? +fy(P0)cos? +fz(P0)cos?=?2?(? )?3??. ?l3333 ⅱ> l的方向余弦为
cos?=
2?1(2?1)?(?2?1)?(1?1)222?110, cos?=?310, cos?=0 .
因此 ,
?f135?2???=1?.
?l101010可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .
例3 [1]P164 E2 .
二. 梯度 ( 陡度 ):
1. 梯度的定义: gradf? |gradf|=
?fx(P0), fy(P0) , fz(P0)? .
?fx(P0)?2??fy(P0)?2??fz(P0)?2.
易见, 对可微函数f, 方向导数是梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为
fl(P0)?gradf?l?|gradf(P0)|cos?.
其中?是l与gradf(P0)夹角. 可见??0时fl(P0)取最大值 , 在l的反方向取最小值 . 3. 梯度的运算:
ⅰ> grad(u?c)?gradu. ⅱ> grad(?u+?v) =
?gradu+?gradv.
160