ⅲ> grad(uv) = ugradv+vgradu. ⅳ> gradvugradv?vgradu?. uu2 ⅴ> gradf(u) = f?(u)gradu.
uvy?uyvuvx?uxv?v??v?证ⅳ> ??? , ???. 22uu?u?x?u?yv1?2( uvx?uxv , uvy?uyv )? uu1 ?2( uvx , uvy ) ? ( uxv , uyv )?
u1ugradv?vgradu ?2u(vx , vy)?v(ux , uy)?. 2uu grad????
Ex [1]P165 1，2 ，3 ，6 .
§4 Taylor
公式和极值问题 （ 4 时 ）
2一． 中值定理： 凸区域 .
Th 1 设二元函数f在凸区域D?R上连续, 在D的所有内点处可微. 则对D内任意两点
P(a,b) , Q(a?h , b?k)?intD , 存在? ( 0???1 ), 使
f(a?h , b?k)?f(a,b)?fx(a??h , b??k)h?f(a??h , b??k)k.
?. 证 令?(t)?f(a?th , b?tk) , 在闭凸区域上的情况: [1]P173—174.
推论 若函数f在区域D上存在偏导数 , 且fx?fy?0, 则f是D上的常值函数.
二. Taylor公式:
Th 2 (Taylor公式) 若函数f在点P0(x0,y0)的某邻域?(P0)内有直到n?1阶连续偏导数, 则对?(P0)内任一点( x0?h , y0?k ),存在相应的??(0 , 1 ), 使
161
f(x0?h , y0?k)?
1????1??????? ??h?kf(x,y)?h?k00??x???x?i!?y(n?1)!?yi?0????nin?1f(x0??h , y0??k).
证 [1]P175
例1 求函数f(x,y)?xy在点( 1 , 4 )的Taylor公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算
( 1.08 )3.96. [1]P175—176 E4 . 三. 极值问题:
1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值. 例2 [1]P176 E5
Ex [1]P183 5，6，7⑴⑷.
2． 极值的必要条件：与一元函数比较 .
Th 3 设P0为函数f(P)的极值点. 则当fx(P0)和存在时,有fx(P0)=fy(P0)?0. (证) 函数的驻点、不可导点 ， 函数的可疑点 . 3. 极值的充分条件:
代数准备: 给出二元( 实 )二次型 g(x,y)?ax?2bxy?cy. 其矩阵为
22?ab? ??bc??.
??ⅰ> g(x,y)是正定的,? 顺序主子式全? 0, g(x,y)是半正定的,? 顺序主子式全 ? 0;
ⅱ> g(x,y)是负定的,? (?1 )|aij|1?0, 其中|aij|1为k阶顺序主子式. g(x,y)是半负定的, ? (?1 )|aij|1?0. ⅲ> ??kkkkk?ab???< 0时, g(x,y)是不定的. bc??充分条件的讨论: 设函数f(x,y)在点P0(x0,y0)某邻域有二阶连续偏导数.由Taylor
162
公式, 有
????1????2???f(x0?h , y0?k)?f(x0,y0)??h?kf(P)?h?kf(P)??(?)00??x????y?2!??x?y?? ?fx(P0)h+fy(P0)k +
21fxx(P0)h2?2fxy(P0)hk?fyy(P0)k2??(?2). 2!??令 A?fxx(P0) , B?fxy(P0为驻点时, 有0), C?fyy(P0), 则当Pf(x0?h , y0?k)?f(x0,y0)?1Ah2?2Bhk?Ck2??(?2). 其中??h2?k2. 2??可见式f(x0?h , y0?k)?f(x0,y0)的符号由二次型Ah?2Bhk?Ck完全决定. 称该二次型的矩阵为函数f(x,y)的Hesse矩阵. 于是由上述代数准备, 有 ⅰ> A?0 , AC?B2?0, ? P0为 ( 严格 ) 极小值点 ; ⅱ> A?0 , AC?B2?0, ? P0为 ( 严格 ) 极大值点 ; ⅲ> AC?B?0时, P0不是极值点;
ⅳ> AC?B?0时, P0可能是极值点 , 也可能不是极值点 .
综上, 有以下定理.
Th 4 设函数f(P)在点P0的某邻域内有连续的二阶偏导数, P0是驻点. 则
ⅰ> fxx(P0为极小值点; 0)?0 , fxxfyy?fxy(P0)?0时 , Pⅱ> fxx(P0为极大值点; 0)?0 , fxxfyy?fxy(P0)?0时 , Pⅲ> fxxfyy?fxy(P0不是极值点; 0)?0时 , Pⅳ> fxxfyy?fxy(P0)?0时 , P0可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 例3—7 [1]P179—182 E6—10 .
2222?2??2??2??2?四． 函数的最值：
22例8 求函数f(x,y)?x?4xy?2y?10x?4y
163
在域D = { (x,y)| x?0 , y?0 , x?y?4 }上的最值 .
?fx(x,y)?2x?4y?10?0,解 令 ? 解得驻点为( 1 , 2 ). f( 1 , 2 )??1.
f(x,y)?4x?4y ?4?0.?y 在边界x?0 ( 0?y?4 )上 , f(0,y)??2y2?4y, 驻点为y?1 , f(0,1)?2; 在边界y?0 ( 0?x?4 )上 , f(x,0)?x2?10x, 没有驻点;
在边界y?4?x ( 0?x?4 )上 , f(x , 4?x)??5x2?18x?16,
驻点为x?1.8, f(1.8 , 4?1.8)?0.2.
又f(0,0)?0 , f(0,4)??16 , f(4,0)??24.
于是 , maxDf(x,y)?max{f(1,2) , f(0,1) , f(1.8 , 2.2) , f(0,0) , f(0,4) , f(4,0)} ?max{ ?1 , 2 , 0.2 , 0 , ?16 , ?24 }?0.2. minDf(x,y)?min{ ?1 , 2 , 0.2 , 0 , ?16 , ?24 }??24.
Ex [1]P184 8⑴⑵，9⑴⑵，10，11 .
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