上海海事大学 2008–2009年第1学期
《高等数学A》课程期末考试试卷A卷 2009.1
考生姓名： 班级： 学号： 题序 得分 评卷人 一 二 三 四 总 分 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
(本大题分3小题, 每小题3分, 共9分)
ex?4e?x??1、limx?x??3e?2e?x
1(A) (B)2 (C)1 (D)不存在3?2、设x?0为f(x)?x0ln(1?t)dtx2使得f(x)在x?0处连续。 的可去间断点，则补充定义f(0)???11(A)0 (B)?2 (C)? (D)22
3、设f(x)?ex(x?1)2,则关于f(x)的极值，以下判断正确的是（）（A）x??1不是极值点，x?1是极值点；
(B)x??1是极值点，x?1不是极值点；（C）x??1，x?1都是极值点；（D）x??1，x?1都不是极值点。
二、填空题（将正确答案填在横线上）
(本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)
1、lim?1?sinx?x?0csc2x?
1
2、y?e?x过原点的切线方程为3、f(x)?x2lnx，则f??(1)?
?1?4、f(x)??1?x22x??e53x?0x?0，则
?????f(x)dx=
5、y?1?(x?1)的拐点坐标为
三 计算题（必须有解题过程）
(本大题共9小题，每题7分，共63分) 1、(本小题6分)
已知y?xe?x，试推导出y对x的n阶导数（不必证明）
2、(本小题6分)
?求?20sinxdx．
sinx?cosx
3、(本小题6分)
求由方程y?1?xey确定隐函数,试求y?(0)
4、(本小题6分)
设函数f(x)?ln(sinx)，验证在[出对应?值 5、 ( 本小题6分 )
?5?,]上f(x)满足罗尔定理，并求
66?x?a(cost?tsint)求曲线?在t??处的曲率
y?a(sint?tcost)?6、 ( 本小题6分 )
求?
dxx2x?42
2
7、( 本小题6分 )
已知平面?:3x?y?2z?5?0与直线l:x?7y?4z?5??的交点514为M0，求平面?上过M0且与l垂直的直线的方程。
8、 ( 本小题6分 )
??????设向量a?{2,3,?1}、b?{1,?2,3}、c?{2,1,2},向量d与a,b均垂
??14，求向量d. 直，且在向量 c上的投影是9、( 本小题6分 )
已知f(?)?1,且?0?[f(x)?f??(x)]sinxdx?3，求f(0)
四、应用与证明题（必须有解题过程）
（本大题共16分） 1、( 本小题8分 )
计算摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost)的一拱与x轴所围成的平面图形的面积.?a?0?.并求该图形绕ox轴旋转一周的立体体积
2、( 本小题8分 )
设f?x?在[a，b]上连续，在?a，b?内可导且导数恒大于0，t??a，b?A?t?为y?f?x?和x?a，y?f?t?所围面积，B?t?为y?f?x?和x?b，y?f?t?所围面积，如图所示，证明：必存在唯一??（a，b），使
A????2009。B???
y A(t) o a t b x B(t) 2008–2009年第1学期
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《高等数学A》课程期末考试试卷解答 2009.1
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）
(本大题分3小题, 每小题3分, 共9分) 1、D 2、C 3、C 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) 1、e 2、y?ex?0 3、3 4、
121?? 2(1,1) 5、 三 计算题(本大题分10小题，每小题6分，共60分)
1、解：设 limun=A，
n??? limun?lim(n?2n?n)?2A
n??n??22分
A?limn??2nn?2n?n2?2A?1?2A
5分
limun=-1 6分
n???2、 解： y??(1?x)e,y???(x?2)e,y????(3?x)e
?x?x?x 3分
?y(n)?(?1)n(x?n)e?x 6分
?33、原式??20sinuducosu?sinu(u??2?x)
4
? ?43分
?20cosxdx
sinx?cosx
1sinx?cosx?dx? 6 所以原式=?2?20sinx?cosx4分
4、解：y???ey?xeyy? 2分
y???eyxey?1 5分
x?0,y?1,y???e 6分
5
、
解
：
f(x)?lnsinx在[?6,5?6]上连续,在(?5?6,6)内可导
f(?5?16)?f(6)?ln2
3分
即 f(x)在[?56,?6]上满足罗尔定理的条件 f?(x)?cotx4分
令 f?(x)?0,得x?2k???2 6分即在(?5??
6,6)内存在以上??2使f?(?)?0
6
、
解
：
dxdydt?atcost,dt?atsintdy2dx?tant ，1???dy??dx???sec2t，2分 5
，