3分
d2ysec2tsec3t??atdx2atcost，
k?d2ydx2 ?sec2tat?1，
?3?dy?22sec3tat??1?????dx?????5分
k1t???a?6分
7、解：令x?2sect dx?2sect?tantdt 原式??2sect?tant4sec2t?2tantdt?14?costdt?14sint?C分
2?x?44x?C. ?8、l参数方程为?x?7?5t?y?4?t
??z?5?4t代入?方程，解得t??1，故l，?交点M0为(2,3,1)
3分
过M0与l垂直的平面方程为 5x?y?4z?17?0
5分
所求直线为 ??3x?y?2z?5?0?5x?y?4z?17?0
6
。 2分 5
6分
6分
99、解：设d??{x,y,z}，
??2x?3y?z?0 ??x?2y?3z?0， 4分
??2x?y?2z?3?14解答：x=-42，y=z=42，即d??{?42,42,42}。6分
10、左边????0f(x)sinxdx??0sinxdf?(x) 2分
=???0f(x)sinxdx?sinx?f?(x)|?0??0f?(x)cosxdx 3分
=??0f(x)sinxdx?f(x)cosx|??0??0f(x)sinxdx 5分
=f(?)?f(0)?3,?f(0)?2.
6分
四、应用与证明题（本大题共16分）
1、( 本 小 题8分 )
解:S??2?a2?0ydx??0a2(1?cost)2dt
?a2?2?0(1?2cost?cos2t)dt
2?
?a2(32t?2sint?14sin2t)?3a2?
0 V???2?a230ydx??a3?2?0(1?cost)dt
??a3?2?(1?3cost?3cos2t?cos30t)dt
??a3?2??5??2?3cost?32cos2t?(1?sin2t)cost?0??dt??a3?52?2??5?2a3.
7
2分4分5分8分
2、( 本 小 题8分 )
证明：存在性
设g(t)?A(t)?2009B(t)
2分
f(t)在[a,b]上连续，且单调增，
??(f(t)?f(x))dx?2009?(f(x)?f(t))dx
attbg(a)g(b)??2009?(f(b)?f(x))dx??(f(x)?f(a))dx?0aabb
由零点定理，至少有一点??(a,b),g(?)?0 5
分
唯一性：g?(t)?f?(t)(t?a)?2009f?(t)(b?t)?0 7分
所以g(t)严格单调增，故?唯一，
分
即必存在唯一??(a,b),使A(?)?2009 8B(?) 8